Номер 501, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

501. a)
Одно из самых грандиозных сооружений древности – пирамида Хеопса в Египте – имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем этой пирамиды.

б) Алмаз массой 42 карата имеет форму правильного октаэдра. Верно ли, что ребро этого октаэдра $\approx 1,72 \text{ см}$? (Плотность алмаза $3,5 \text{ г/см}^3$, 1 карат равен $0,2 \text{ г}.)$

a)

Дано:

$h = 150 \text{ м}$ (высота пирамиды)

$l = 220 \text{ м}$ (боковое ребро пирамиды)

Форма: правильная четырехугольная пирамида

Найти:

$V$ (объем пирамиды)

Решение:

Объем правильной четырехугольной пирамиды определяется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{base} h$

где $S_{base}$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды.

Так как основание - квадрат, $S_{base} = a^2$, где $a$ - длина стороны основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ и боковым ребром $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

Для квадрата со стороной $a$, диагональ $d = a\sqrt{2}$. Тогда $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это выражение в уравнение Пифагора:

$l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$l^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4}$

$l^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}$

Выразим $a^2$:

$\frac{a^2}{2} = l^2 - h^2$

$a^2 = 2(l^2 - h^2)$

Подставим известные значения $h$ и $l$:

$a^2 = 2(220^2 - 150^2)$

$a^2 = 2(48400 - 22500)$

$a^2 = 2(25900)$

$a^2 = 51800 \text{ м}^2$

Теперь найдем объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} a^2 h$

$V = \frac{1}{3} \times 51800 \times 150$

$V = 51800 \times 50$

$V = 2590000 \text{ м}^3$

Ответ: $2590000 \text{ м}^3$.

б)

Дано:

$m = 42 \text{ карата}$ (масса алмаза)

$\rho = 3.5 \text{ г/см}^3$ (плотность алмаза)

$1 \text{ карат} = 0.2 \text{ г}$

Форма: правильный октаэдр

Найти:

Верно ли, что ребро октаэдра $a \approx 1.72 \text{ см}$?

Перевод в СИ:

$m = 42 \text{ карата} \times 0.2 \text{ г/карат} = 8.4 \text{ г} = 0.0084 \text{ кг}$

$\rho = 3.5 \text{ г/см}^3 = 3.5 \times 10^3 \text{ кг/м}^3$

Решение:

Сначала найдем массу алмаза в граммах:

$m = 42 \text{ карата} \times 0.2 \text{ г/карат} = 8.4 \text{ г}$

Теперь вычислим объем алмаза, используя формулу $V = \frac{m}{\rho}$:

$V = \frac{8.4 \text{ г}}{3.5 \text{ г/см}^3} = 2.4 \text{ см}^3$

Объем правильного октаэдра вычисляется по формуле:

$V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$

где $a$ - длина ребра октаэдра.

Выразим $a^3$ из этой формулы:

$a^3 = \frac{3V}{\sqrt{2}}$

Подставим найденный объем $V = 2.4 \text{ см}^3$:

$a^3 = \frac{3 \times 2.4 \text{ см}^3}{\sqrt{2}} = \frac{7.2}{\sqrt{2}} \text{ см}^3$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a^3 = \frac{7.2\sqrt{2}}{2} \text{ см}^3 = 3.6\sqrt{2} \text{ см}^3$

Используем приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$a^3 \approx 3.6 \times 1.414 \text{ см}^3 \approx 5.0904 \text{ см}^3$

Теперь найдем $a$, извлекая кубический корень:

$a = \sqrt[3]{5.0904} \text{ см}$

Проверим, насколько это значение близко к $1.72 \text{ см}$:

$1.72^3 = 1.72 \times 1.72 \times 1.72 = 2.9584 \times 1.72 = 5.090448$

Таким образом, вычисленное значение ребра $a \approx 1.72 \text{ см}$.

Утверждение верно.

Ответ: Да, верно.