Номер 494, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

22. Объемы пирамиды и усеченной пирамиды. IV. Объемы тел - номер 494, страница 149.

Условие.

494. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 6 см, а тангенс двугранного угла при ребре основания равен $ \frac{15}{8} $.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

высота пирамиды $H = 6 \text{ см}$

тангенс двугранного угла при ребре основания $\tan(\alpha) = \frac{15}{8}$

Найти:

объем пирамиды $V$

Решение:

Пусть правильная четырехугольная пирамида имеет высоту $H$ и сторону основания $a$. Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат со стороной $a$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ - площадь основания.

Для квадратного основания площадь $S_{base} = a^2$. Таким образом, $V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H$.

Двугранный угол при ребре основания пирамиды - это угол между боковой гранью и основанием. Если провести апофему боковой грани (высоту боковой грани, опущенную на ребро основания) и апофему основания (расстояние от центра основания до середины ребра основания), то эти две линии вместе с высотой пирамиды образуют прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:

• один катет - это высота пирамиды $H$
• второй катет - это апофема основания, которая для квадрата равна половине его стороны, то есть $r = \frac{a}{2}$
• гипотенуза - это апофема боковой грани

Тангенс двугранного угла $\alpha$ в этом прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (высоты $H$) к прилежащему катету (апофеме основания $r$):

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r}$

Подставим $r = \frac{a}{2}$:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{a/2} = \frac{2H}{a}$

Нам дано $\tan(\alpha) = \frac{15}{8}$ и $H = 6 \text{ см}$. Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{15}{8} = \frac{2 \cdot 6}{a}$

$\frac{15}{8} = \frac{12}{a}$

Теперь найдем $a$:

$15a = 12 \cdot 8$

$15a = 96$

$a = \frac{96}{15}$

$a = \frac{32}{5} = 6.4 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь основания $S_{base}$:

$S_{base} = a^2 = (6.4)^2 = 40.96 \text{ см}^2$

Наконец, вычислим объем пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot H$

$V = \frac{1}{3} \cdot 40.96 \cdot 6$

$V = 40.96 \cdot 2$

$V = 81.92 \text{ см}^3$

Ответ:

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $81.92 \text{ см}^3$.