Номер 492, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

492. a) Из одного металла изготовлены две детали в форме пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты. Равны ли массы деталей?

б) Правильная $n$-угольная пирамида пересечена плоскостью, содержащей ее высоту. Равны ли объемы многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду?

a) Из одного металла изготовлены две детали в форме пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты. Равны ли массы деталей?

Дано:

Две детали в форме пирамид.

Детали изготовлены из одного металла (плотность $\rho$ одинакова для обеих деталей).

Площади оснований равны: $S_1 = S_2 = S_{осн}$.

Высоты равны: $h_1 = h_2 = h$.

Найти:

Равны ли массы деталей ($m_1$ и $m_2$)?

Решение:

Масса $m$ детали связана с её плотностью $\rho$ и объемом $V$ формулой: $m = \rho V$.

Поскольку обе детали изготовлены из одного и того же металла, их плотности равны: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Для первой детали объем: $V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1$.

Для второй детали объем: $V_2 = \frac{1}{3} S_2 h_2$.

Согласно условию задачи, площади оснований равны ($S_1 = S_2$) и высоты равны ($h_1 = h_2$).

Следовательно, подставляя эти равенства в формулы объемов, получаем:

$V_1 = \frac{1}{3} S_1 h_1$

$V_2 = \frac{1}{3} S_1 h_1$

Таким образом, объемы обеих деталей равны: $V_1 = V_2$.

Теперь выразим массы деталей:

$m_1 = \rho V_1$

$m_2 = \rho V_2$

Поскольку $\rho$ и $V$ для обеих деталей одинаковы, то их массы также равны: $m_1 = m_2$.

Ответ: Да, массы деталей равны.

b) Правильная $n$-угольная пирамида пересечена плоскостью, содержащей ее высоту. Равны ли объемы многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду?

Дано:

Правильная $n$-угольная пирамида.

Пирамида пересечена плоскостью, содержащей её высоту.

Найти:

Равны ли объемы многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду?

Решение:

В правильной $n$-угольной пирамиде высота опускается из вершины в центр основания.

Плоскость, содержащая высоту пирамиды, обязательно проходит через вершину пирамиды и через центр её основания.

Любая прямая, проходящая через центр правильного $n$-угольника, делит его на две равновеликие (то есть, имеющие одинаковую площадь) части. Пусть $S_{осн}$ — площадь основания исходной пирамиды. Тогда плоскость делит основание на две части с площадями $S_1'$ и $S_2'$, при этом $S_1' = S_2' = \frac{1}{2} S_{осн}$.

Каждый из двух многогранников, образовавшихся в результате сечения, можно рассматривать как пирамиду с общей вершиной (вершиной исходной пирамиды) и соответствующими частями основания в качестве своих оснований ($S_1'$ и $S_2'$). Высота $h$ у этих двух многогранников будет общей и равной высоте исходной пирамиды.

Объем первого многогранника $V_1'$ равен: $V_1' = \frac{1}{3} S_1' h$.

Объем второго многогранника $V_2'$ равен: $V_2' = \frac{1}{3} S_2' h$.

Так как $S_1' = S_2'$ и высота $h$ для обоих многогранников одинакова, то их объемы также равны: $V_1' = V_2'$.

Ответ: Да, объемы многогранников равны.