Номер 468, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

468. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°. Найдите центральный угол в развертке боковой поверхности этого конуса.

Дано

Угол при вершине осевого сечения конуса: $\alpha = 60^\circ$

Перевод данных в систему СИ:

Угол $\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.

Найти:

Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса: $\phi$

Решение

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, вершиной которого является вершина конуса, а основанием – диаметр основания конуса. Пусть $L$ – длина образующей конуса (равная боковой стороне равнобедренного треугольника), а $R$ – радиус основания конуса (равный половине основания треугольника). Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$.

Если провести высоту из вершины конуса к центру основания, она разделит осевое сечение на два равных прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна образующей $L$, а катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен радиусу основания $R$.

Таким образом, из определения синуса в прямоугольном треугольнике получаем: $R = L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

Центральный угол $\phi$ кругового сектора (в радианах) связан с его радиусом $L$ и длиной дуги $C$ формулой: $C = L\phi$

Подставим выражение для $C$: $2\pi R = L\phi$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $R$ из осевого сечения: $2\pi \left(L \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = L\phi$

Поскольку $L \ne 0$, мы можем сократить $L$ с обеих сторон уравнения: $\phi = 2\pi \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Дано, что угол при вершине осевого сечения $\alpha = 60^\circ$. Вычислим $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Найдем значение синуса $30^\circ$: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в формулу для $\phi$: $\phi = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$ радиан

Если требуется ответ в градусах, переведем радианы в градусы, зная, что $\pi$ радиан равно $180^\circ$: $\phi = 180^\circ$

Ответ:

Центральный угол в развертке боковой поверхности этого конуса равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан.