Номер 461, страница 137 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

461. Угол при вершине осевого сечения конуса $2\alpha$, а его высота равна $\sqrt{2}$. Площадь сечения конуса, содержащего две образующие, угол между которыми $30^\circ$, равна:

1) $0,5\cos^{-2}\alpha;$

2) $0,5\cos^{-1}\alpha;$

3) $0,5\cos\alpha;$

4) $\frac{\sqrt{2}}{\cos^2\alpha};$

5) $\frac{\sqrt{2}}{2\cos^2\alpha}.$

Дано:

угол при вершине осевого сечения конуса: $2\alpha$

высота конуса: $H = \sqrt{2}$

угол между двумя образующими в сечении: $\phi = 30^\circ$

Перевод в СИ:

все величины уже в приемлемых единицах. углы в градусах, высота в условных единицах длины. перевод не требуется.

Найти:

площадь сечения конуса $S$.

Решение

1. Найдем длину образующей конуса.

осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса $L$, а основание — диаметром основания конуса $2R$. высота конуса $H$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию. угол при вершине осевого сечения равен $2\alpha$.

рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$. в этом треугольнике угол при вершине будет равен $\alpha$ (половина угла $2\alpha$).

используем тригонометрическое соотношение для косинуса угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{H}{L}$

из этого выражения найдем длину образующей $L$:

$L = \frac{H}{\cos(\alpha)}$

подставим известное значение высоты $H = \sqrt{2}$:

$L = \frac{\sqrt{2}}{\cos(\alpha)}$

2. Найдем площадь заданного сечения.

сечение конуса, содержащее две образующие, является равнобедренным треугольником. стороны этого треугольника равны длинам образующих $L$, а угол между ними равен $\phi = 30^\circ$.

площадь треугольника можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab\sin(\theta)$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\theta$ — угол между ними.

в нашем случае $a = L$, $b = L$, и $\theta = \phi = 30^\circ$.

$S = \frac{1}{2} L \cdot L \sin(\phi)$

$S = \frac{1}{2} L^2 \sin(\phi)$

подставим найденное выражение для $L$ и значение $\sin(30^\circ)$:

мы знаем, что $\sin(30^\circ) = 0.5$.

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{\cos(\alpha)}\right)^2 \sin(30^\circ)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{(\sqrt{2})^2}{\cos^2(\alpha)}\right) \cdot 0.5$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\cos^2(\alpha)}\right) \cdot 0.5$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$

$S = \frac{1}{2\cos^2(\alpha)}$

это выражение можно также записать как $S = 0.5 \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha)} = 0.5 \cos^{-2}(\alpha)$.

сравниваем с предложенными вариантами ответа. наш результат соответствует варианту 1.

Ответ:

$S = 0.5 \cos^{-2}(\alpha)$