Номер 471, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

471. Шар радиуса 6 см касается всех сторон правильного треугольника со стороной $4\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника.

Дано:

Радиус шара: $R = 6 \text{ см}$

Сторона правильного треугольника: $a = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Перевод данных в систему СИ:

Радиус шара: $R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Сторона правильного треугольника: $a = 4\sqrt{3} \text{ см} = 0.04\sqrt{3} \text{ м}$

Найти:

Расстояние от центра шара до плоскости треугольника: $d$

Решение:

1. Поскольку шар касается всех сторон правильного треугольника, проекция центра шара на плоскость треугольника совпадает с центром вписанной окружности этого треугольника. Для правильного (равностороннего) треугольника центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с центром описанной окружности и центроидом.

2. Расстояние от центра шара до плоскости треугольника ($d$), радиус вписанной в треугольник окружности ($r$) и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

3. Сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности для правильного треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса вписанной окружности в правильный треугольник:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 4\sqrt{3} \text{ см}$:

$r = \frac{4\sqrt{3} \text{ см}}{2\sqrt{3}} = 2 \text{ см}$

4. Теперь используем теорему Пифагора для нахождения расстояния $d$:

$d^2 = R^2 - r^2$

$d = \sqrt{R^2 - r^2}$

Подставим известные значения $R = 6 \text{ см}$ и $r = 2 \text{ см}$:

$d = \sqrt{(6 \text{ см})^2 - (2 \text{ см})^2}$

$d = \sqrt{36 \text{ см}^2 - 4 \text{ см}^2}$

$d = \sqrt{32 \text{ см}^2}$

$d = \sqrt{16 \times 2} \text{ см}$

$d = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ:

Расстояние от центра шара до плоскости этого треугольника составляет $4\sqrt{2} \text{ см}$.