Номер 472, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

472. Сравните площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, равной $a$, и площадь сферы радиуса $a$.

Дано:

Сторона квадрата: $a$

Радиус сферы: $a$

Найти:

Сравнить площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, и площадь сферы радиуса $a$.

Решение:

1. Определим площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны.

При вращении квадрата со стороной $a$ вокруг одной из его сторон образуется цилиндр. Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне квадрата, то есть $h = a$. Радиус основания цилиндра $r$ также будет равен стороне квадрата, то есть $r = a$.

Площадь поверхности цилиндра $S_{цилиндра}$ состоит из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и площадей двух оснований $S_{осн}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2 \pi r h$

Подставляя значения $r = a$ и $h = a$:$S_{бок} = 2 \pi (a)(a) = 2 \pi a^2$

Площадь каждого основания цилиндра (круг) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \pi r^2$

Подставляя значение $r = a$:$S_{осн} = \pi a^2$

Общая площадь поверхности цилиндра:$S_{цилиндра} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$$S_{цилиндра} = 2 \pi a^2 + 2 (\pi a^2) = 2 \pi a^2 + 2 \pi a^2 = 4 \pi a^2$

2. Определим площадь сферы радиуса $a$.

Площадь поверхности сферы $S_{сферы}$ с радиусом $R$ вычисляется по формуле:$S_{сферы} = 4 \pi R^2$

В данном случае радиус сферы равен $a$, поэтому:$S_{сферы} = 4 \pi a^2$

3. Сравним полученные площади.

Площадь поверхности тела, образованного вращением квадрата, равна $4 \pi a^2$.

Площадь поверхности сферы радиуса $a$ также равна $4 \pi a^2$.

Таким образом, $S_{цилиндра} = S_{сферы}$.

Ответ:

Площадь поверхности тела, полученного вращением квадрата вокруг его стороны, равна площади сферы радиуса $a$.