Номер 451, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

451. Из деревянного цилиндра, высота которого равна диаметру основания, выточен шар наибольшего радиуса. На сколько процентов площадь поверхности цилиндра больше площади поверхности шара?

1) $33\frac{1}{3}\%$;

2) $20\%$;

3) $10\%$;

4) $\approx 66\%$;

5) $\approx 11\%$.

Дано:

Цилиндр, высота которого ($H$) равна диаметру основания ($D$).

Из цилиндра выточен шар наибольшего радиуса ($R_{шара}$).

Перевод в СИ: Поскольку задача о пропорциях и без конкретных числовых значений, все величины будут выражены через радиус основания цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$.

Тогда диаметр основания цилиндра $D = 2R$.

Высота цилиндра $H = D = 2R$.

Шар наибольшего радиуса, выточенный из такого цилиндра, будет иметь радиус $R_{шара}$, равный радиусу основания цилиндра и половине его высоты. То есть $R_{шара} = R$.

Найти:

На сколько процентов площадь поверхности цилиндра больше площади поверхности шара ($P$).

Решение:

1.

Определим площадь поверхности цилиндра ($S_{цилиндра}$).

Формула площади поверхности цилиндра: $S_{цилиндра} = 2\pi R^2 + 2\pi R H$.

Подставим $H = 2R$ (так как высота цилиндра равна его диаметру):

$S_{цилиндра} = 2\pi R^2 + 2\pi R (2R) = 2\pi R^2 + 4\pi R^2 = 6\pi R^2$.

2.

Определим площадь поверхности шара ($S_{шара}$).

Формула площади поверхности шара: $S_{шара} = 4\pi R_{шара}^2$.

Поскольку радиус выточенного шара наибольший, он равен радиусу основания цилиндра: $R_{шара} = R$.

Значит, $S_{шара} = 4\pi R^2$.

3.

Вычислим, на сколько процентов площадь поверхности цилиндра больше площади поверхности шара.

Чтобы узнать, на сколько процентов одна величина больше другой, мы используем формулу: $P = \frac{\text{Большая величина} - \text{Меньшая величина}}{\text{Меньшая величина}} \times 100\%$.

В данном случае $S_{цилиндра} = 6\pi R^2$ и $S_{шара} = 4\pi R^2$. Очевидно, что $S_{цилиндра}$ больше $S_{шара}$.

$P = \frac{S_{цилиндра} - S_{шара}}{S_{шара}} \times 100\% = \frac{6\pi R^2 - 4\pi R^2}{4\pi R^2} \times 100\% = \frac{2\pi R^2}{4\pi R^2} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$.

Таким образом, площадь поверхности цилиндра больше площади поверхности шара на 50%.

Однако, 50% отсутствует среди предложенных вариантов ответа. Иногда в задачах подобного типа подразумевается процентное соотношение разницы к большей из величин, что отвечает на вопрос "на сколько процентов *меньше* одна величина другой". Вычислим это значение:

$P' = \frac{S_{цилиндра} - S_{шара}}{S_{цилиндра}} \times 100\% = \frac{6\pi R^2 - 4\pi R^2}{6\pi R^2} \times 100\% = \frac{2\pi R^2}{6\pi R^2} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33\frac{1}{3}\%$.

Значение $33\frac{1}{3}\%$ является одним из предложенных вариантов ответа (вариант 1). Несмотря на то, что буквальная формулировка вопроса ("больше ... чем") указывает на использование $S_{шара}$ в знаменателе, в задачах с множественным выбором, если прямой ответ отсутствует, часто подразумевается вариант, полученный при расчете относительно большей величины.

Ответ:

$33\frac{1}{3}\%$.