Номер 453, страница 136 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

453. Радиус основания равностороннего конуса равен $\sqrt{3}$ дм. Тогда площадь сечения конуса, содержащего две его образующие, угол между которыми $60^{\circ}$, равна:

1) 3 дм²;

2) $3\sqrt{3}$ дм²;

3) $2\sqrt{3}$ дм²;

4) 5 дм²;

5) $1,5\sqrt{3}$ дм².

Дано:

Радиус основания равностороннего конуса $R = \sqrt{3}$ дм.

Угол между образующими в сечении $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в систему СИ:

$R = \sqrt{3} \text{ дм} = \sqrt{3} \times 0.1 \text{ м} \approx 0.1732 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

По определению, равносторонний конус – это конус, у которого образующая $l$ равна диаметру основания. Таким образом, $l = 2R$. Подставим заданное значение радиуса $R$: $l = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ дм.

Сечение конуса, содержащее две его образующие, является равнобедренным треугольником, у которого две стороны равны образующим конуса ($l$), а угол между этими сторонами равен $\alpha = 60^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ - длины двух сторон, а $C$ - угол между ними. В нашем случае, $a = l$, $b = l$, и $C = \alpha$. Следовательно, площадь сечения $S_{сеч}$ будет: $S_{сеч} = \frac{1}{2} l \cdot l \sin \alpha = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha$.

Теперь подставим вычисленное значение $l$ и заданный угол $\alpha$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} (2\sqrt{3})^2 \sin 60^\circ$.

Вычислим квадрат значения образующей: $(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для площади сечения: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{сеч} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{сеч} = 3\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ:

$3\sqrt{3}$ дм$^2$.