Номер 450, страница 135 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

450. В цилиндре с высотой $b$ проведены два сечения, параллельные оси, такие, что сечение $ABCD$ – квадрат, сечение $ABKH$ – прямоугольник со сторонами $b$ и $2b$, угол между плоскостями сечений равен $60^\circ$. Тогда расстояние от точки $C$ до плоскости $ABK$ равно:

1) $b$;

2) $0,5b$;

3) $\frac{b\sqrt{3}}{2}$;

4) $b\sqrt{3}$;

5) $1,5b$.

Дано

Высота цилиндра: $H_c = b$.

Сечение $ABCD$ — квадрат.

Сечение $ABKH$ — прямоугольник со сторонами $b$ и $2b$.

Оба сечения параллельны оси цилиндра.

Угол между плоскостями сечений равен $60^\circ$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны, поэтому все величины остаются в символической форме. $b$ измеряется в единицах длины.

Найти:

Расстояние от точки $C$ до плоскости $ABK$.

Решение

1. Поскольку сечения $ABCD$ и $ABKH$ проведены параллельно оси цилиндра, их стороны, параллельные оси, являются образующими цилиндра. Длина этих сторон равна высоте цилиндра, то есть $b$.

2. Из условия следует, что $AB$ является общей стороной для обоих сечений. Для сечения $ABCD$, которое является квадратом со стороной $b$, стороны $AD$ и $BC$ являются образующими цилиндра, то есть $AD=BC=b$. Тогда $AB$ и $CD$ являются хордами в основаниях цилиндра, и их длина также равна $b$. Итак, $AB=b$.

3. Для сечения $ABKH$, которое является прямоугольником со сторонами $b$ и $2b$. Поскольку $AB$ является общей стороной и, как мы определили, является хордой, то $AK$ и $BH$ являются образующими цилиндра, то есть $AK=BH=b$. Это означает, что другая сторона прямоугольника, $AB$, должна быть $2b$.

4. Таким образом, мы получаем противоречие: $AB=b$ (из сечения $ABCD$) и $AB=2b$ (из сечения $ABKH$). Это указывает на то, что наша исходная посылка о том, что $AB$ является хордой, ошибочна. Единственный способ устранить это противоречие, это предположить, что $AB$ - это общая образующая цилиндра, соединяющая верхнее и нижнее основания. В этом случае длина $AB$ равна высоте цилиндра, то есть $AB=b$.

5. Переформулируем: $AB$ — образующая цилиндра, длина $AB = b$. Для сечения $ABCD$: поскольку $AB$ — образующая, то $AD$ и $BC$ являются хордами в соответствующих основаниях. Для того чтобы $ABCD$ был квадратом со стороной $b$, хорда $AD$ должна иметь длину $b$. Для сечения $ABKH$: поскольку $AB$ — образующая, то $AK$ и $BH$ являются хордами в соответствующих основаниях. Учитывая, что стороны прямоугольника $ABKH$ равны $b$ и $2b$, и одна сторона ($AB$) равна $b$, другая сторона ($AK$) должна быть $2b$. Таким образом, хорда $AK$ имеет длину $2b$.

6. Хорда $AK$ лежит в верхнем основании цилиндра и имеет длину $2b$. Поскольку максимальная длина хорды в круге — это диаметр, то $AK$ является диаметром основания цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R = \frac{2b}{2} = b$.

7. Хорда $AD$ также лежит в верхнем основании и имеет длину $b$. Поскольку $R=b$, хорда $AD$ равна радиусу основания.

8. Угол между плоскостями сечений $ABCD$ и $ABKH$ равен $60^\circ$. Эти плоскости пересекаются по линии $AB$. Поскольку $AB$ является образующей, она перпендикулярна плоскостям оснований цилиндра. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между хордами $AD$ и $AK$ в верхнем основании, то есть $\angle DAK = 60^\circ$.

9. Рассмотрим треугольник $ADK$ в верхнем основании. Мы имеем $AD=R=b$ и $AK=2R=2b$. Так как $AK$ является диаметром, то треугольник $ADK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Проверим угол $\angle DAK$: $\cos(\angle DAK) = \frac{AD}{AK} = \frac{b}{2b} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\angle DAK = 60^\circ$. Это согласуется с условием задачи.

10. Нам нужно найти расстояние от точки $C$ до плоскости $ABKH$. Точка $C$ является вершиной квадрата $ABCD$. Точка $D$ находится в верхнем основании, а точка $C$ — в нижнем основании, причем $CD$ является образующей цилиндра, то есть $CD$ параллельна $AB$.

11. Поскольку $CD$ параллельна $AB$, а линия $AB$ лежит в плоскости $ABKH$, то вся линия $CD$ параллельна плоскости $ABKH$. Следовательно, расстояние от точки $C$ до плоскости $ABKH$ равно расстоянию от точки $D$ до плоскости $ABKH$.

12. Плоскость $ABKH$ перпендикулярна плоскости верхнего основания, так как она содержит образующие $AB$ и $KH$. Точка $D$ лежит в плоскости верхнего основания. Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABKH$ равно расстоянию от точки $D$ до линии пересечения плоскости $ABKH$ с плоскостью верхнего основания. Эта линия пересечения — хорда $AK$.

13. В прямоугольном треугольнике $ADK$ (в верхнем основании) нам нужно найти высоту $DP$, опущенную из вершины $D$ на гипотенузу $AK$. Расстояние $DP = AD \cdot \sin(\angle DAK)$. $DP = b \cdot \sin(60^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{b\sqrt{3}}{2}$