Страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

433. a) Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота призмы равна 24 см, а диагональ ее боковой грани равна 26 см. Найдите радиус основания цилиндра.

б) Правильная треугольная призма, все ребра которой равны $a$, вписана в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

а)

Дано:

• Призма: правильная треугольная.
• Цилиндр описан около призмы.
• Высота призмы $h_п = 24$ см.
• Диагональ боковой грани $d = 26$ см.

Перевод в СИ: Данные уже в сантиметрах, которые не являются единицами СИ. Однако, для данной задачи достаточно оставить их в сантиметрах, так как ответ также будет в сантиметрах. Перевод в метры: $h_п = 0.24$ м, $d = 0.26$ м.

Найти:

• Радиус основания цилиндра $R_{ц}$.

Решение:

1. Поскольку цилиндр описан около правильной треугольной призмы, высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник.

2. Рассмотрим боковую грань призмы. Она является прямоугольником. Обозначим сторону основания призмы (сторону равностороннего треугольника) как $a$. Высота призмы равна $h_п$. Диагональ боковой грани $d$ связана с $a$ и $h_п$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + h_п^2$

3. Подставим известные значения:

$26^2 = a^2 + 24^2$

$676 = a^2 + 576$

$a^2 = 676 - 576$

$a^2 = 100$

$a = \sqrt{100} = 10$ см.

4. Радиус $R_{ц}$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется формулой:

$R_{ц} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

5. Подставим значение $a$:

$R_{ц} = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.

Рационализируем знаменатель:

$R_{ц} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R_{ц} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

б)

Дано:

• Призма: правильная треугольная.
• Все ребра призмы равны $a$.
• Призма вписана в цилиндр.

Перевод в СИ: Величина $a$ является произвольной длиной, поэтому перевод в СИ не требуется, ответ будет выражен через $a$.

Найти:

• Площадь осевого сечения цилиндра $S_{ос}$.

Решение:

1. Если правильная треугольная призма вписана в цилиндр, это означает, что вершины оснований призмы лежат на окружностях оснований цилиндра. Следовательно, радиус основания цилиндра $R_{ц}$ равен радиусу окружности, описанной около основания призмы.

2. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. По условию, все ребра призмы равны $a$. Это означает, что сторона основания равностороннего треугольника равна $a$, и высота призмы (а значит, и высота цилиндра) также равна $a$.

3. Радиус $R_{ц}$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, определяется формулой:

$R_{ц} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

4. Высота цилиндра $H_{ц}$ равна высоте призмы, то есть:

$H_{ц} = a$

5. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания цилиндра ($2R_{ц}$), а другая сторона равна высоте цилиндра ($H_{ц}$).

6. Площадь осевого сечения $S_{ос}$ вычисляется как произведение его сторон:

$S_{ос} = (2R_{ц}) \cdot H_{ц}$

7. Подставим выражения для $R_{ц}$ и $H_{ц}$:

$S_{ос} = 2 \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \cdot a$

$S_{ос} = \frac{2a^2}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$S_{ос} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $S_{ос} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3}$.

434. Дан конус, в осевое сечение которого вписана окружность. Высота конуса в 4 раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь поверхности конуса, если его образующая равна 9 см.

Дано:

Конус.

В осевое сечение конуса вписана окружность.

Высота конуса $H$ в 4 раза больше радиуса этой окружности $r_0$: $H = 4r_0$.

Образующая конуса $L = 9$ см.

Перевод в СИ:

$L = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

Найти:

Площадь поверхности конуса $S_{пов}$.

Решение:

Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны образующей конуса $L$, а основание равно диаметру основания конуса $2R$, где $R$ – радиус основания конуса. Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса $H$.

В этот равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса $r_0$. Радиус вписанной окружности в треугольник выражается формулой $r_0 = \frac{S_{тр}}{p_{тр}}$, где $S_{тр}$ – площадь треугольника, а $p_{тр}$ – его полупериметр.

Площадь осевого сечения (треугольника) $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.

Полупериметр осевого сечения $p_{тр} = \frac{\text{основание} + \text{боковая сторона} + \text{боковая сторона}}{2} = \frac{2R + L + L}{2} = \frac{2R + 2L}{2} = R + L$.

Таким образом, радиус вписанной окружности $r_0 = \frac{RH}{R+L}$.

По условию задачи, высота конуса $H$ в 4 раза больше радиуса этой окружности: $H = 4r_0$.

Подставим выражение для $r_0$ в это равенство:

$H = 4 \cdot \frac{RH}{R+L}$

Поскольку $H \neq 0$ (высота конуса не может быть нулевой), мы можем разделить обе части уравнения на $H$:

$1 = \frac{4R}{R+L}$

Умножим обе части на $(R+L)$:

$R+L = 4R$

Вычтем $R$ из обеих частей:

$L = 3R$

Нам дана образующая конуса $L = 9$ см. Подставим это значение в полученное равенство:

$9 = 3R$

$R = \frac{9}{3}$

$R = 3$ см.

Полная площадь поверхности конуса $S_{пов}$ состоит из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Формула площади основания конуса: $S_{осн} = \pi R^2$.

Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi R L$.

Следовательно, $S_{пов} = \pi R^2 + \pi R L$.

Подставим найденное значение $R = 3$ см и данное значение $L = 9$ см:

$S_{пов} = \pi (3)^2 + \pi (3)(9)$

$S_{пов} = 9\pi + 27\pi$

$S_{пов} = 36\pi$ см$^2$.

Ответ:

Площадь поверхности конуса составляет $36\pi$ см$^2$.

435. В шар радиуса $R$ вписан конус, угол между высотой и образующей которого равен $\alpha$. Найдите высоту конуса.

Дано:
Радиус шара: $R$
Угол между высотой и образующей конуса: $\alpha$

Найти:
Высота конуса: $h$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Это сечение представляет собой круг радиуса $R$ с вписанным в него равнобедренным треугольником. Вершина треугольника является вершиной конуса, а его основание - диаметром основания конуса. Пусть $h$ - высота конуса, $r$ - радиус основания конуса, а $l$ - образующая конуса. Угол между высотой и образующей равен $\alpha$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей конуса, справедливы следующие соотношения:
$r = h \tan \alpha$ (1)

Пусть центр шара находится в начале координат $(0,0)$. Тогда вершина конуса, лежащая на поверхности шара, может быть обозначена как $(0, R)$ (без потери общности, считаем, что конус направлен вниз).

Основание конуса представляет собой круг, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси, проходящей через центр шара. Пусть эта плоскость находится на расстоянии $y_0$ от центра шара. Высота конуса будет $h = R - y_0$. Отсюда следует $y_0 = R - h$.

Точки на окружности основания конуса также лежат на поверхности шара. Радиус основания конуса $r$ и координата $y_0$ связаны соотношением из уравнения окружности, лежащей в осевом сечении шара:
$r^2 + y_0^2 = R^2$ (2)

Подставим выражение для $y_0$ в уравнение (2):
$r^2 + (R-h)^2 = R^2$
$r^2 + R^2 - 2Rh + h^2 = R^2$
$r^2 = 2Rh - h^2$
$r^2 = h(2R - h)$ (3)

Теперь подставим выражение для $r$ из (1) в уравнение (3):
$(h \tan \alpha)^2 = h(2R - h)$
$h^2 \tan^2 \alpha = 2Rh - h^2$

Перенесем все члены с $h$ в левую часть:
$h^2 \tan^2 \alpha + h^2 = 2Rh$
$h^2 (\tan^2 \alpha + 1) = 2Rh$

Известно тригонометрическое тождество $\tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha = 1 / \cos^2 \alpha$. Подставим его:
$h^2 \sec^2 \alpha = 2Rh$

Так как высота конуса $h$ не может быть равна нулю (иначе это не конус), мы можем разделить обе части уравнения на $h$:
$h \sec^2 \alpha = 2R$
$h = \frac{2R}{\sec^2 \alpha}$
$h = 2R \cos^2 \alpha$

Ответ:
Высота конуса $h = 2R \cos^2 \alpha$.

436. Дан тетраэдр, в который можно вписать конус, причем стороны его основания равны 6,5 см, 7 см, 7,5 см, а образующая конуса наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности этого тетраэдра.

Дано:

стороны основания тетраэдра: $a = 6.5 \text{ см}$, $b = 7 \text{ см}$, $c = 7.5 \text{ см}$.

угол наклона образующей конуса к основанию: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 6.5 \text{ см} = 0.065 \text{ м}$

$b = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$c = 7.5 \text{ см} = 0.075 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

площадь полной поверхности тетраэдра $S_{full}$.

Решение:

1. Найдем площадь основания тетраэдра ($S_{base}$).

Основание тетраэдра представляет собой треугольник со сторонами $a=6.5 \text{ см}$, $b=7 \text{ см}$, $c=7.5 \text{ см}$.

Вычислим полупериметр $p$ основания:

$p = (a+b+c)/2 = (6.5 + 7 + 7.5)/2 = 21/2 = 10.5 \text{ см}$.

Используем формулу Герона для нахождения площади основания:

$S_{base} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S_{base} = \sqrt{10.5 \cdot (10.5-6.5) \cdot (10.5-7) \cdot (10.5-7.5)}$

$S_{base} = \sqrt{10.5 \cdot 4 \cdot 3.5 \cdot 3}$

$S_{base} = \sqrt{10.5 \cdot 4 \cdot 10.5} = \sqrt{10.5^2 \cdot 2^2} = 10.5 \cdot 2 = 21 \text{ см}^2$.

2. Найдем радиус вписанной окружности в основание ($r$).

Площадь треугольника также может быть выражена через полупериметр и радиус вписанной окружности по формуле $S_{base} = p \cdot r$.

Отсюда радиус $r = S_{base} / p = 21 / 10.5 = 2 \text{ см}$.

3. Найдем апофему боковых граней тетраэдра ($l_p$).

Тот факт, что в тетраэдр можно вписать конус, означает, что вершина тетраэдра проецируется в центр вписанной окружности его основания, а образующая конуса является апофемой боковых граней тетраэдра. Угол наклона образующей конуса к основанию ($\alpha = 60^\circ$) — это угол между апофемой ($l_p$) и радиусом вписанной окружности основания ($r$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $r$, высотой тетраэдра $H$ и апофемой $l_p$:

$\cos \alpha = r / l_p$

$l_p = r / \cos \alpha = 2 / \cos 60^\circ = 2 / (1/2) = 4 \text{ см}$.

4. Найдем площадь боковой поверхности тетраэдра ($S_{lateral}$).

Площадь боковой поверхности пирамиды (тетраэдр является треугольной пирамидой), в основание которой можно вписать окружность, а вершина проецируется в ее центр, равна половине произведения периметра основания на апофему.

Периметр основания $P_{base} = a + b + c = 6.5 + 7 + 7.5 = 21 \text{ см}$.

$S_{lateral} = \frac{1}{2} \cdot P_{base} \cdot l_p = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 4 = 21 \cdot 2 = 42 \text{ см}^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности тетраэдра ($S_{full}$).

Площадь полной поверхности тетраэдра складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{full} = S_{base} + S_{lateral}$

$S_{full} = 21 + 42 = 63 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности тетраэдра $63 \text{ см}^2$.

437. Докажите, используя рисунок 161, что площадь поверхности шарового сегмента равна площади круга $S = \pi l^2$, имеющего радиусом отрезок $l$, который проведен от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием (задача Архимеда).

Рисунок 161

Решение

Для доказательства используем общеизвестные формулы для площади поверхности шарового сегмента и геометрические соотношения, следующие из рисунка 161.

Пусть $R$ – радиус сферы, $h$ – высота шарового сегмента (отрезок $AO_1$ на рисунке), $r$ – радиус основания сегмента (отрезок $O_1C$), и $l$ – отрезок, проведенный от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием (отрезок $AC$).

Площадь поверхности шарового сегмента (исключая площадь основания) определяется формулой:

$S_{\text{сегмента}} = 2 \pi R h$

Площадь круга с радиусом $l$ определяется формулой:

$S_{\text{круга}} = \pi l^2$

Нам необходимо доказать, что $S_{\text{сегмента}} = S_{\text{круга}}$, то есть $2 \pi R h = \pi l^2$. Это эквивалентно доказательству равенства $2 R h = l^2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_1C$, где $A$ – вершина сегмента, $O_1$ – центр основания сегмента, $C$ – точка на окружности основания. По теореме Пифагора имеем:

$l^2 = r^2 + h^2 \quad \text{(Уравнение 1)}$

Теперь рассмотрим центр сферы $O$. Отрезок $OC$ является радиусом сферы, поэтому $OC = R$. Отрезок $OO_1$ – это расстояние от центра сферы до центра основания сегмента. Так как $AO_1 = h$ и $AO = R$ (радиус сферы), то $OO_1 = R - h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1C$. По теореме Пифагора имеем:

$OC^2 = OO_1^2 + O_1C^2$

Подставим известные значения:

$R^2 = (R - h)^2 + r^2$

Раскроем скобки $(R - h)^2$:

$R^2 = R^2 - 2Rh + h^2 + r^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = -2Rh + h^2 + r^2$

Перенесем $2Rh$ в левую часть уравнения:

$2Rh = h^2 + r^2 \quad \text{(Уравнение 2)}$

Сравнивая Уравнение 1 ($l^2 = r^2 + h^2$) и Уравнение 2 ($2Rh = r^2 + h^2$), мы видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и их левые части:

$l^2 = 2Rh$

Теперь подставим это равенство в формулу площади поверхности шарового сегмента:

$S_{\text{сегмента}} = 2 \pi R h = \pi (2Rh)$

Поскольку $2Rh = l^2$, получаем:

$S_{\text{сегмента}} = \pi l^2$

Это выражение соответствует площади круга с радиусом $l$. Таким образом, доказано, что площадь поверхности шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок $l$, проведенный от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

Ответ: Доказано.

438. В шар радиуса 10 см вписан конус, в который вписана пирамида, причем ее основание – прямоугольный треугольник с гипотенузой 19,2 см. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано:

Радиус шара $R = 10 \text{ см}$

Гипотенуза основания пирамиды $c = 19.2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$c = 19.2 \text{ см} = 0.192 \text{ м}$

Найти:

Высота пирамиды $H_п$

Решение:

По условию задачи, пирамида вписана в конус, а конус вписан в шар.

1.
Определение радиуса основания конуса:

Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник, который вписан в окружность основания конуса. Известно, что если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности.

Таким образом, диаметр основания конуса $D_к$ равен гипотенузе основания пирамиды $c$:

$D_к = c = 19.2 \text{ см}$.

Радиус основания конуса $r_к$ равен половине его диаметра:

$r_к = \frac{D_к}{2} = \frac{19.2 \text{ см}}{2} = 9.6 \text{ см}$.

2.
Определение высоты конуса:

Пусть высота конуса равна $H_к$. Конус вписан в шар радиуса $R$. При этом вершина конуса лежит на поверхности шара, а его основание является сечением шара.

Рассмотрим осевое сечение шара и конуса. Это сечение представляет собой большой круг шара радиуса $R$ и вписанный в него равнобедренный треугольник, который является осевым сечением конуса. Вершина треугольника (вершина конуса) лежит на окружности. Основание треугольника (диаметр основания конуса $2r_к$) параллельно некоторому диаметру окружности.

При этом центр шара находится на высоте конуса. По теореме Пифагора для радиуса шара $R$, радиуса основания конуса $r_к$ и расстояния от центра шара до плоскости основания конуса (которое равно $|H_к - R|$), имеем:

$R^2 = r_к^2 + (H_к - R)^2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$R^2 = r_к^2 + H_к^2 - 2H_к R + R^2$

$0 = r_к^2 + H_к^2 - 2H_к R$

Это квадратное уравнение относительно $H_к$:

$H_к^2 - 2H_к R + r_к^2 = 0$

Подставим известные значения $R = 10 \text{ см}$ и $r_к = 9.6 \text{ см}$:

$H_к^2 - 2 \cdot 10 \cdot H_к + (9.6)^2 = 0$

$H_к^2 - 20 H_к + 92.16 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $H_к = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 92.16$

$D = 400 - 368.64$

$D = 31.36$

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{31.36} = 5.6$.

Находим два возможных значения для высоты конуса $H_к$:

$H_{к1} = \frac{20 + 5.6}{2} = \frac{25.6}{2} = 12.8 \text{ см}$.

$H_{к2} = \frac{20 - 5.6}{2} = \frac{14.4}{2} = 7.2 \text{ см}$.

3.
Определение высоты пирамиды:

Поскольку пирамида вписана в конус таким образом, что её основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса, высота пирамиды $H_п$ равна высоте конуса $H_к$.

Таким образом, возможны два значения для высоты пирамиды:

$H_{п1} = 12.8 \text{ см}$

$H_{п2} = 7.2 \text{ см}$

Оба решения являются математически корректными, так как для данных параметров $R$ и $r_к$ существует два таких конуса, вписанных в шар.

Ответ:

Высота пирамиды может быть $12.8 \text{ см}$ или $7.2 \text{ см}$.

439. Найдите радиус шара, описанного около конуса, в который вписана правильная треугольная пирамида со стороной основания $12\sqrt{3}$ см и боковым ребром 20 см.

Дано:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды $a = 12\sqrt{3}$ см.

Боковое ребро пирамиды $L = 20$ см.

Пирамида вписана в конус, конус вписан в шар.

Перевод в СИ:

$a = 12\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$L = 20 \times 10^{-2}$ м

Найти:

Радиус шара $R_{шара}$.

Решение:

Поскольку правильная треугольная пирамида вписана в конус, это означает, что основание пирамиды (правильный треугольник) вписано в основание конуса (круг), а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

Радиус основания конуса $r_{кон}$ будет равен радиусу окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$. Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$r_{кон} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ см.

Высота конуса $h_{кон}$ будет равна высоте пирамиды. Высота пирамиды, радиус описанной окружности основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник, где боковое ребро является гипотенузой.

$h_{кон}^2 + r_{кон}^2 = L^2$

$h_{кон}^2 + 12^2 = 20^2$

$h_{кон}^2 + 144 = 400$

$h_{кон}^2 = 400 - 144 = 256$

$h_{кон} = \sqrt{256} = 16$ см.

Теперь найдем радиус шара $R_{шара}$, описанного около конуса. Для этого используем формулу для радиуса шара, описанного около конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$: $R_{шара} = \frac{r^2 + h^2}{2h}$.

$R_{шара} = \frac{r_{кон}^2 + h_{кон}^2}{2h_{кон}}$

$R_{шара} = \frac{12^2 + 16^2}{2 \times 16}$

$R_{шара} = \frac{144 + 256}{32}$

$R_{шара} = \frac{400}{32}$

$R_{шара} = \frac{100}{8}$

$R_{шара} = \frac{25}{2} = 12.5$ см.

Ответ: 12.5 см

440. a) Прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого 9 см и 12 см, а боковое ребро 20 см, вписан в цилиндр. Найдите длину образующей цилиндра, радиус его основания и диагональ осевого сечения этого цилиндра.

б) В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма, боковая грань которой – квадрат. Найдите угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра.

a)

Дано:

Прямоугольный параллелепипед вписан в цилиндр.

Стороны основания параллелепипеда: $a = 9$ см, $b = 12$ см.

Боковое ребро параллелепипеда: $h_p = 20$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 9$ см $= 0.09$ м

$b = 12$ см $= 0.12$ м

$h_p = 20$ см $= 0.20$ м

Найти:

Длину образующей цилиндра $H$.

Радиус основания цилиндра $R$.

Диагональ осевого сечения цилиндра $D_{ос}$.

Решение:

Когда прямоугольный параллелепипед вписан в цилиндр, его высота равна длине образующей цилиндра, а диагональ основания параллелепипеда является диаметром основания цилиндра.

1. Длина образующей цилиндра ($H$) равна боковому ребру параллелепипеда:

$H = h_p = 20$ см $= 0.20$ м.

2. Для нахождения радиуса основания цилиндра сначала найдем диагональ основания параллелепипеда. Основание параллелепипеда - это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Диагональ основания ($d_{осн}$) находится по теореме Пифагора:

$d_{осн} = \sqrt{a^2 + b^2}$

$d_{осн} = \sqrt{(0.09 \text{ м})^2 + (0.12 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0081 \text{ м}^2 + 0.0144 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0225 \text{ м}^2} = 0.15 \text{ м}$.

Диаметр основания цилиндра $D$ равен диагонали основания параллелепипеда:

$D = d_{осн} = 0.15$ м.

Радиус основания цилиндра $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{0.15 \text{ м}}{2} = 0.075 \text{ м}$.

3. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого является диаметром основания цилиндра ($D$), а другая - длиной образующей (высотой) цилиндра ($H$). Диагональ осевого сечения ($D_{ос}$) находится по теореме Пифагора:

$D_{ос} = \sqrt{D^2 + H^2}$

$D_{ос} = \sqrt{(0.15 \text{ м})^2 + (0.20 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0225 \text{ м}^2 + 0.04 \text{ м}^2} = \sqrt{0.0625 \text{ м}^2} = 0.25 \text{ м}$.

Перевод результатов обратно в сантиметры для удобства:

$H = 0.20$ м $= 20$ см.

$R = 0.075$ м $= 7.5$ см.

$D_{ос} = 0.25$ м $= 25$ см.

Ответ: Длина образующей цилиндра: $20$ см, радиус его основания: $7.5$ см, диагональ осевого сечения: $25$ см.

б)

Дано:

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.

Боковая грань призмы - квадрат.

Найти:

Угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра $\alpha$.

Решение:

1. Пусть $a$ - длина стороны основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ - высота призмы. Так как призма является правильной шестиугольной и вписана в цилиндр, ее высота $h$ совпадает с высотой цилиндра.

2. Боковая грань правильной призмы представляет собой прямоугольник. По условию, эта боковая грань является квадратом. Это означает, что длина стороны основания $a$ равна высоте призмы $h$, то есть $a = h$.

3. Ось цилиндра проходит через центры оснований и параллельна всем боковым ребрам призмы.

4. Рассмотрим одну из боковых граней призмы. Пусть это квадрат $ABCD$, где $AB$ - сторона основания призмы, а $AD$ - боковое ребро призмы. Соответственно, $AB = a$ и $AD = h$. Поскольку $a = h$, то $AB = AD$.

5. Нам нужно найти угол между диагональю боковой грани (например, $AC$) и осью цилиндра. Поскольку боковое ребро $AD$ параллельно оси цилиндра, искомый угол равен углу между диагональю $AC$ и боковым ребром $AD$.

6. В квадрате $ABCD$, треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Катеты этого треугольника: $AD = h$ и $CD = a$.

7. Поскольку $a = h$, то $AD = CD$. Таким образом, треугольник $ADC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

8. Угол $\alpha$ между диагональю $AC$ и боковым ребром $AD$ - это угол $\angle CAD$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы, прилежащие к гипотенузе, равны $45^\circ$.

Можно также вычислить через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD}$.

Так как $CD = a$ и $AD = h$, а $a = h$, то:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{a} = 1$.

Следовательно, $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.