Номер 438, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

438. В шар радиуса 10 см вписан конус, в который вписана пирамида, причем ее основание – прямоугольный треугольник с гипотенузой 19,2 см. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано:

Радиус шара $R = 10 \text{ см}$

Гипотенуза основания пирамиды $c = 19.2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$c = 19.2 \text{ см} = 0.192 \text{ м}$

Найти:

Высота пирамиды $H_п$

Решение:

По условию задачи, пирамида вписана в конус, а конус вписан в шар.

1.
Определение радиуса основания конуса:

Основание пирамиды — это прямоугольный треугольник, который вписан в окружность основания конуса. Известно, что если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности.

Таким образом, диаметр основания конуса $D_к$ равен гипотенузе основания пирамиды $c$:

$D_к = c = 19.2 \text{ см}$.

Радиус основания конуса $r_к$ равен половине его диаметра:

$r_к = \frac{D_к}{2} = \frac{19.2 \text{ см}}{2} = 9.6 \text{ см}$.

2.
Определение высоты конуса:

Пусть высота конуса равна $H_к$. Конус вписан в шар радиуса $R$. При этом вершина конуса лежит на поверхности шара, а его основание является сечением шара.

Рассмотрим осевое сечение шара и конуса. Это сечение представляет собой большой круг шара радиуса $R$ и вписанный в него равнобедренный треугольник, который является осевым сечением конуса. Вершина треугольника (вершина конуса) лежит на окружности. Основание треугольника (диаметр основания конуса $2r_к$) параллельно некоторому диаметру окружности.

При этом центр шара находится на высоте конуса. По теореме Пифагора для радиуса шара $R$, радиуса основания конуса $r_к$ и расстояния от центра шара до плоскости основания конуса (которое равно $|H_к - R|$), имеем:

$R^2 = r_к^2 + (H_к - R)^2$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$R^2 = r_к^2 + H_к^2 - 2H_к R + R^2$

$0 = r_к^2 + H_к^2 - 2H_к R$

Это квадратное уравнение относительно $H_к$:

$H_к^2 - 2H_к R + r_к^2 = 0$

Подставим известные значения $R = 10 \text{ см}$ и $r_к = 9.6 \text{ см}$:

$H_к^2 - 2 \cdot 10 \cdot H_к + (9.6)^2 = 0$

$H_к^2 - 20 H_к + 92.16 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней $H_к = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 92.16$

$D = 400 - 368.64$

$D = 31.36$

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{31.36} = 5.6$.

Находим два возможных значения для высоты конуса $H_к$:

$H_{к1} = \frac{20 + 5.6}{2} = \frac{25.6}{2} = 12.8 \text{ см}$.

$H_{к2} = \frac{20 - 5.6}{2} = \frac{14.4}{2} = 7.2 \text{ см}$.

3.
Определение высоты пирамиды:

Поскольку пирамида вписана в конус таким образом, что её основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса, высота пирамиды $H_п$ равна высоте конуса $H_к$.

Таким образом, возможны два значения для высоты пирамиды:

$H_{п1} = 12.8 \text{ см}$

$H_{п2} = 7.2 \text{ см}$

Оба решения являются математически корректными, так как для данных параметров $R$ и $r_к$ существует два таких конуса, вписанных в шар.

Ответ:

Высота пирамиды может быть $12.8 \text{ см}$ или $7.2 \text{ см}$.