Номер 441, страница 134 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

441. Найдите наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в конус, высота которого равна 8 дм, а радиус основания – 6 дм.

Дано:

Высота конуса $H_к = 8$ дм
Радиус основания конуса $R_к = 6$ дм

В системе СИ:
$H_к = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$
$R_к = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Наибольшую площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок, max}$.

Решение:

Пусть $h$ - высота цилиндра, а $r$ - радиус его основания. Площадь боковой поверхности цилиндра выражается формулой:
$S_{бок} = 2 \pi r h$

Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным в него цилиндром. Это будет равнобедренный треугольник, в который вписан прямоугольник. Вершина конуса находится вверху. Высота конуса $H_к$ и его радиус $R_к$. Высота цилиндра $h$ и его радиус $r$.

Из подобия треугольников (образованных высотой конуса, его радиусом и образующей, а также высотой части конуса над цилиндром, радиусом цилиндра и соответствующей образующей) следует соотношение:
$ \frac{r}{R_к} = \frac{H_к - h}{H_к} $

Из этого соотношения выразим высоту цилиндра $h$ через его радиус $r$:
$ H_к r = R_к (H_к - h)$
$ H_к r = R_к H_к - R_к h$
$ R_к h = R_к H_к - H_к r$
$ h = H_к - \frac{H_к}{R_к} r$
$ h = H_к \left(1 - \frac{r}{R_к}\right) $

Подставим это выражение для $h$ в формулу площади боковой поверхности цилиндра:
$ S_{бок}(r) = 2 \pi r \cdot H_к \left(1 - \frac{r}{R_к}\right) $
$ S_{бок}(r) = 2 \pi H_к \left( r - \frac{r^2}{R_к} \right) $

Для нахождения наибольшей площади, найдем производную функции $S_{бок}(r)$ по $r$ и приравняем ее к нулю:
$ \frac{dS_{бок}}{dr} = 2 \pi H_к \left( 1 - \frac{2r}{R_к} \right) $

Приравниваем производную к нулю:
$ 1 - \frac{2r}{R_к} = 0 $
$ \frac{2r}{R_к} = 1 $
$ r = \frac{R_к}{2} $

Это значение $r$ соответствует максимуму, так как вторая производная $ \frac{d^2S_{бок}}{dr^2} = 2 \pi H_к \left( -\frac{2}{R_к} \right) = -\frac{4 \pi H_к}{R_к} $ отрицательна.

Найдем высоту цилиндра $h$ при этом значении $r$:
$ h = H_к \left(1 - \frac{R_к/2}{R_к}\right) = H_к \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{H_к}{2} $

Теперь подставим значения $r = \frac{R_к}{2}$ и $h = \frac{H_к}{2}$ в формулу для $S_{бок}$:
$ S_{бок, max} = 2 \pi \left(\frac{R_к}{2}\right) \left(\frac{H_к}{2}\right) $
$ S_{бок, max} = \frac{\pi R_к H_к}{2} $

Подставим численные значения $H_к = 0.8 \text{ м}$ и $R_к = 0.6 \text{ м}$:
$ S_{бок, max} = \frac{\pi \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 0.8 \text{ м}}{2} $
$ S_{бок, max} = \frac{0.48 \pi}{2} \text{ м}^2 $
$ S_{бок, max} = 0.24 \pi \text{ м}^2 $

Ответ:

$0.24 \pi \text{ м}^2$