Номер 436, страница 133 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

436. Дан тетраэдр, в который можно вписать конус, причем стороны его основания равны 6,5 см, 7 см, 7,5 см, а образующая конуса наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности этого тетраэдра.

Дано:

стороны основания тетраэдра: $a = 6.5 \text{ см}$, $b = 7 \text{ см}$, $c = 7.5 \text{ см}$.

угол наклона образующей конуса к основанию: $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 6.5 \text{ см} = 0.065 \text{ м}$

$b = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$

$c = 7.5 \text{ см} = 0.075 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ$

Найти:

площадь полной поверхности тетраэдра $S_{full}$.

Решение:

1. Найдем площадь основания тетраэдра ($S_{base}$).

Основание тетраэдра представляет собой треугольник со сторонами $a=6.5 \text{ см}$, $b=7 \text{ см}$, $c=7.5 \text{ см}$.

Вычислим полупериметр $p$ основания:

$p = (a+b+c)/2 = (6.5 + 7 + 7.5)/2 = 21/2 = 10.5 \text{ см}$.

Используем формулу Герона для нахождения площади основания:

$S_{base} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S_{base} = \sqrt{10.5 \cdot (10.5-6.5) \cdot (10.5-7) \cdot (10.5-7.5)}$

$S_{base} = \sqrt{10.5 \cdot 4 \cdot 3.5 \cdot 3}$

$S_{base} = \sqrt{10.5 \cdot 4 \cdot 10.5} = \sqrt{10.5^2 \cdot 2^2} = 10.5 \cdot 2 = 21 \text{ см}^2$.

2. Найдем радиус вписанной окружности в основание ($r$).

Площадь треугольника также может быть выражена через полупериметр и радиус вписанной окружности по формуле $S_{base} = p \cdot r$.

Отсюда радиус $r = S_{base} / p = 21 / 10.5 = 2 \text{ см}$.

3. Найдем апофему боковых граней тетраэдра ($l_p$).

Тот факт, что в тетраэдр можно вписать конус, означает, что вершина тетраэдра проецируется в центр вписанной окружности его основания, а образующая конуса является апофемой боковых граней тетраэдра. Угол наклона образующей конуса к основанию ($\alpha = 60^\circ$) — это угол между апофемой ($l_p$) и радиусом вписанной окружности основания ($r$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $r$, высотой тетраэдра $H$ и апофемой $l_p$:

$\cos \alpha = r / l_p$

$l_p = r / \cos \alpha = 2 / \cos 60^\circ = 2 / (1/2) = 4 \text{ см}$.

4. Найдем площадь боковой поверхности тетраэдра ($S_{lateral}$).

Площадь боковой поверхности пирамиды (тетраэдр является треугольной пирамидой), в основание которой можно вписать окружность, а вершина проецируется в ее центр, равна половине произведения периметра основания на апофему.

Периметр основания $P_{base} = a + b + c = 6.5 + 7 + 7.5 = 21 \text{ см}$.

$S_{lateral} = \frac{1}{2} \cdot P_{base} \cdot l_p = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 4 = 21 \cdot 2 = 42 \text{ см}^2$.

5. Найдем площадь полной поверхности тетраэдра ($S_{full}$).

Площадь полной поверхности тетраэдра складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{full} = S_{base} + S_{lateral}$

$S_{full} = 21 + 42 = 63 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь полной поверхности тетраэдра $63 \text{ см}^2$.