Номер 432, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

432. В цилиндр высотой 14 см вписан шар. Найдите радиус сечения шара плоскостью, проходящей через две образующие цилиндра, расстояние между которыми 10 см.

Дано:
Высота цилиндра $H_{цилиндра} = 14 \text{ см}$
Расстояние между образующими (длина хорды в основании цилиндра, $w$) $w = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:
$H_{цилиндра} = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$
$w = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:
Радиус сечения шара $r_{сечения} = ?$

Решение:
1. Поскольку шар вписан в цилиндр, его диаметр равен высоте цилиндра. Следовательно, радиус шара $R_{шара}$ равен половине высоты цилиндра:
$R_{шара} = \frac{H_{цилиндра}}{2} = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}$.
Также, радиус основания цилиндра $r_{цилиндра}$ равен радиусу шара: $r_{цилиндра} = R_{шара} = 7 \text{ см}$.
2. Плоскость сечения проходит через две образующие цилиндра, расстояние между которыми 10 см. Это означает, что в основании цилиндра эта плоскость высекает хорду длиной 10 см.
3. Найдем расстояние от центра основания цилиндра до этой хорды. Пусть это расстояние будет $d_{хорды}$. Радиус основания цилиндра ($r_{цилиндра}$), половина длины хорды ($\frac{w}{2}$) и расстояние $d_{хорды}$ образуют прямоугольный треугольник.
Половина хорды равна $\frac{10 \text{ см}}{2} = 5 \text{ см}$.
По теореме Пифагора для этого треугольника:
$r_{цилиндра}^2 = \left(\frac{w}{2}\right)^2 + d_{хорды}^2$
$7^2 = 5^2 + d_{хорды}^2$
$49 = 25 + d_{хорды}^2$
$d_{хорды}^2 = 49 - 25 = 24$
$d_{хорды} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$.
4. Центр шара находится в центре цилиндра (на середине высоты цилиндра, на его оси). Плоскость сечения проходит параллельно оси цилиндра. Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно $d_{хорды}$.
5. Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга $r_{сечения}$ может быть найден по теореме Пифагора, используя радиус шара $R_{шара}$ и расстояние от центра шара до плоскости сечения $d_{хорды}$:
$R_{шара}^2 = r_{сечения}^2 + d_{хорды}^2$
$r_{сечения}^2 = R_{шара}^2 - d_{хорды}^2$
$r_{сечения}^2 = 7^2 - (2\sqrt{6})^2$
$r_{сечения}^2 = 49 - (4 \cdot 6)$
$r_{сечения}^2 = 49 - 24$
$r_{сечения}^2 = 25$
$r_{сечения} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Ответ:
5 см