Номер 427, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

427. Докажите, что площадь поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса.

Дано

Конус является равносторонним. Это означает, что его образующая ($l$) равна диаметру основания ($2r$), где $r$ – радиус основания конуса.

Дана сфера, диаметр ($D_{sphere}$) которой равен высоте конуса ($h_{cone}$).

Найти:

Доказать, что площадь поверхности равностороннего конуса ($S_{cone}$) равна площади поверхности сферы ($S_{sphere}$).

Решение

1. Определение площади поверхности равностороннего конуса:

Обозначим радиус основания конуса как $r$, образующую как $l$, и высоту как $h_{cone}$.

Для равностороннего конуса по определению $l = 2r$.

Полная площадь поверхности конуса состоит из площади основания ($S_{base}$) и площади боковой поверхности ($S_{lateral}$):

$S_{cone} = S_{base} + S_{lateral}$

Площадь основания конуса: $S_{base} = \pi r^2$.

Площадь боковой поверхности конуса: $S_{lateral} = \pi r l$.

Подставим $l = 2r$ в формулу для боковой поверхности:

$S_{lateral} = \pi r (2r) = 2\pi r^2$.

Таким образом, полная площадь поверхности равностороннего конуса: $S_{cone} = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2$.

2. Выражение высоты равностороннего конуса через радиус основания:

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания ($r$), высотой конуса ($h_{cone}$) и образующей ($l$), по теореме Пифагора: $h_{cone}^2 + r^2 = l^2$.

Подставим $l = 2r$:

$h_{cone}^2 + r^2 = (2r)^2$

$h_{cone}^2 + r^2 = 4r^2$

$h_{cone}^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2$

$h_{cone} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3}$.

3. Определение площади поверхности сферы:

Обозначим радиус сферы как $R_{sphere}$. Площадь поверхности сферы задается формулой:

$S_{sphere} = 4\pi R_{sphere}^2$.

4. Связь между параметрами конуса и сферы по условию задачи:

По условию задачи, диаметр сферы равен высоте конуса: $D_{sphere} = h_{cone}$.

Так как $D_{sphere} = 2R_{sphere}$, то $2R_{sphere} = h_{cone}$.

Используя полученное выражение для высоты конуса ($h_{cone} = r\sqrt{3}$), получаем:

$2R_{sphere} = r\sqrt{3}$

Выразим радиус сферы через радиус основания конуса: $R_{sphere} = \frac{r\sqrt{3}}{2}$.

5. Подстановка радиуса сферы в формулу для её площади:

Подставим $R_{sphere} = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ в формулу для площади сферы:

$S_{sphere} = 4\pi \left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$S_{sphere} = 4\pi \left(\frac{r^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2}\right)$

$S_{sphere} = 4\pi \left(\frac{3r^2}{4}\right)$

$S_{sphere} = 3\pi r^2$.

6. Сравнение площадей:

Мы получили, что площадь поверхности равностороннего конуса $S_{cone} = 3\pi r^2$.

Мы также получили, что площадь поверхности сферы $S_{sphere} = 3\pi r^2$ при заданных условиях.

Следовательно, $S_{cone} = S_{sphere}$.

Ответ: Доказано, что площадь поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса, так как обе площади выражаются как $3\pi r^2$, где $r$ – радиус основания конуса.