Номер 425, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

425. Найдите площадь сферы, описанной около равностороннего цилиндра, площадь поверхности которого равна $3 \text{ дм}^2$.

Дано:

$S_{цил} = 3 \text{ дм}^2$

Перевод в СИ:

$S_{цил} = 3 \text{ дм}^2 = 3 \cdot (10^{-1} \text{ м})^2 = 3 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = 0.03 \text{ м}^2$

Найти:

$S_{сф}$

Решение:

Равносторонний цилиндр — это цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Пусть радиус основания цилиндра будет $r$, а высота $h$. Тогда по определению равностороннего цилиндра $h = 2r$.

Площадь поверхности цилиндра $S_{цил}$ вычисляется по формуле: $S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi rh$.

Подставим $h = 2r$ в формулу площади поверхности цилиндра:

$S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi r(2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2$.

Нам дана площадь поверхности цилиндра: $S_{цил} = 3 \text{ дм}^2$.

Приравняем и найдем $r^2$:

$3 = 6\pi r^2$

$r^2 = \frac{3}{6\pi} = \frac{1}{2\pi}$.

Сфера описана около равностороннего цилиндра. Это означает, что диаметр сферы $D_{сф}$ равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение равностороннего цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания цилиндра ($2r$) и высоте цилиндра ($h$). Поскольку цилиндр равносторонний, $h = 2r$, и осевое сечение является квадратом со стороной $2r$.

Диагональ этого квадрата $d$ можно найти по теореме Пифагора:

$d^2 = (2r)^2 + h^2$.

Подставим $h = 2r$:

$d^2 = (2r)^2 + (2r)^2 = 4r^2 + 4r^2 = 8r^2$.

$d = \sqrt{8r^2} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot r^2} = 2r\sqrt{2}$.

Радиус сферы $R_{сф}$ равен половине диаметра сферы:

$R_{сф} = \frac{d}{2} = \frac{2r\sqrt{2}}{2} = r\sqrt{2}$.

Площадь поверхности сферы $S_{сф}$ вычисляется по формуле: $S_{сф} = 4\pi R_{сф}^2$.

Подставим выражение для $R_{сф}$:

$S_{сф} = 4\pi (r\sqrt{2})^2 = 4\pi (r^2 \cdot 2) = 8\pi r^2$.

Теперь подставим ранее найденное значение $r^2 = \frac{1}{2\pi}$:

$S_{сф} = 8\pi \left(\frac{1}{2\pi}\right) = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$.

Ответ:

$S_{сф} = 4 \text{ дм}^2$