Номер 419, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

419. Докажите, что:

а) площадь полной поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса;

б) сумма площадей сфер, диаметры которых равны катетам прямоугольного треугольника, равна площади сферы с диаметром, равным его гипотенузе.

a) площадь полной поверхности равностороннего конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса;

дано

равносторонний конус с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$. сфера с диаметром $d_{сферы}$, равным высоте конуса.

найти: доказать, что площадь полной поверхности равностороннего конуса $s_{конуса}$ равна площади сферы $s_{сферы}$.

решение

для равностороннего конуса образующая $l$ равна диаметру основания, то есть $l = 2r$.

высота конуса $h$, радиус $r$ и образующая $l$ связаны соотношением по теореме пифагора: $h^2 + r^2 = l^2$.

подставим $l = 2r$ в это соотношение: $h^2 + r^2 = (2r)^2 = 4r^2$.

отсюда получаем связь между высотой и радиусом: $h^2 = 3r^2$.

площадь полной поверхности конуса $s_{конуса}$ определяется как сумма площади основания и площади боковой поверхности: $s_{конуса} = \pi r^2 + \pi r l$.

подставим $l = 2r$: $s_{конуса} = \pi r^2 + \pi r (2r) = \pi r^2 + 2\pi r^2 = 3\pi r^2$.

для сферы, диаметр которой $d_{сферы}$ равен высоте конуса $h$, радиус сферы $r_{сферы}$ равен $h/2$.

площадь поверхности сферы $s_{сферы}$ вычисляется по формуле: $s_{сферы} = 4\pi r_{сферы}^2$.

подставим $r_{сферы} = h/2$: $s_{сферы} = 4\pi (h/2)^2 = 4\pi (h^2/4) = \pi h^2$.

используя ранее полученное соотношение $h^2 = 3r^2$, подставим его в формулу для площади сферы:

$s_{сферы} = \pi (3r^2) = 3\pi r^2$.

таким образом, мы показали, что $s_{конуса} = 3\pi r^2$ и $s_{сферы} = 3\pi r^2$.

следовательно, $s_{конуса} = s_{сферы}$.

ответ: доказано.

б) сумма площадей сфер, диаметры которых равны катетам прямоугольного треугольника, равна площади сферы с диаметром, равным его гипотенузе.

дано

прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. две сферы с диаметрами $d_1 = a$ и $d_2 = b$ соответственно. третья сфера с диаметром $d_3 = c$.

найти: доказать, что сумма площадей первых двух сфер $s_1 + s_2$ равна площади третьей сферы $s_3$.

решение

для прямоугольного треугольника действует теорема пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

площадь поверхности сферы с диаметром $d$ и радиусом $r = d/2$ вычисляется по формуле $s = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = 4\pi (d^2/4) = \pi d^2$.

площадь первой сферы $s_1$ с диаметром $d_1 = a$: $s_1 = \pi a^2$.

площадь второй сферы $s_2$ с диаметром $d_2 = b$: $s_2 = \pi b^2$.

сумма площадей этих двух сфер: $s_1 + s_2 = \pi a^2 + \pi b^2 = \pi (a^2 + b^2)$.

площадь третьей сферы $s_3$ с диаметром $d_3 = c$: $s_3 = \pi c^2$.

согласно теореме пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$.

подставим это соотношение в выражение для суммы площадей: $s_1 + s_2 = \pi (c^2)$.

таким образом, мы показали, что $s_1 + s_2 = \pi c^2$ и $s_3 = \pi c^2$.

следовательно, $s_1 + s_2 = s_3$.

ответ: доказано.