Номер 413, страница 130 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

413. Длина линии пересечения сферы и плоскости равна $8\pi$ см, а расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 5 см. Найдите площадь данной сферы.

Дано:

Длина линии пересечения сферы и плоскости (окружности): $C_{круга} = 8\pi \text{ см}$

Расстояние от центра сферы до плоскости: $h = 5 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$C_{круга} = 8\pi \text{ см} = 0.08\pi \text{ м}$

$h = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь поверхности сферы: $S_{сферы}$

Решение:

Линия пересечения сферы и плоскости представляет собой окружность. Пусть $r$ – радиус этой окружности, а $R$ – радиус сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости ($h$), радиус окружности пересечения ($r$) и радиус сферы ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где радиус сферы является гипотенузой.

1. Найдем радиус $r$ окружности пересечения, используя формулу для длины окружности $C = 2\pi r$:

$C_{круга} = 2\pi r$

$8\pi = 2\pi r$

Разделим обе части на $2\pi$:

$r = \frac{8\pi}{2\pi}$

$r = 4 \text{ см}$

2. Найдем радиус сферы $R$, используя теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом сферы $R$ (гипотенуза), расстоянием от центра сферы до плоскости $h$ (один катет) и радиусом окружности пересечения $r$ (второй катет), справедливо соотношение:

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим известные значения $r = 4 \text{ см}$ и $h = 5 \text{ см}$:

$R^2 = 4^2 + 5^2$

$R^2 = 16 + 25$

$R^2 = 41$

Таким образом, радиус сферы в квадрате равен $R^2 = 41$. (Нет необходимости извлекать корень, так как для нахождения площади потребуется $R^2$).

3. Вычислим площадь поверхности сферы $S_{сферы}$, используя формулу $S = 4\pi R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

Подставим значение $R^2 = 41$:

$S_{сферы} = 4\pi \cdot 41$

$S_{сферы} = 164\pi \text{ см}^2$

Ответ:

$164\pi \text{ см}^2$