Номер 418, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

418. a) Сфера касается сторон треугольника ABC, плоскости которого принадлежит ее центр. Найдите площадь сферы, если $AB = BC = 15$ см, $AC = 24$ см.

б) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, а плоскость ромба удалена от центра шара на расстояние, равное 4 см. Найдите площадь поверхности шара, если площадь ромба равна $36\sqrt{2}$ см$^2$.

а) Сфера касается сторон треугольника ABC, плоскости которого принадлежит ее центр. Найдите площадь сферы, если AB = BC = 15 см, AC = 24 см.

Дано:

• Треугольник $ABC$

• $AB = BC = 15$ см

• $AC = 24$ см

• Сфера касается сторон треугольника

• Центр сферы находится в плоскости треугольника

Перевод в СИ:

• $AB = BC = 0.15$ м

• $AC = 0.24$ м

Найти:

• Площадь сферы ($S_{сферы}$)

Решение:

Так как сфера касается сторон треугольника $ABC$ и ее центр находится в плоскости этого треугольника, то радиус сферы равен радиусу вписанной окружности треугольника $ABC$.

1. Найдем полупериметр треугольника $ABC$:

$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{15 + 15 + 24}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см

2. Треугольник $ABC$ - равнобедренный ($AB = BC$). Найдем высоту $BH$ к основанию $AC$. Высота $BH$ также является медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

3. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

$BH = \sqrt{81} = 9$ см

4. Найдем площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108$ см$^2$

5. Радиус вписанной окружности $r$ (и, следовательно, радиус сферы $R$) можно найти по формуле $S = p \cdot r$:

$R = r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{108}{27} = 4$ см

6. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S_{сферы} = 4\pi R^2$:

$S_{сферы} = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$ см$^2$

Ответ: $64\pi$ см$^2$

б) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, а плоскость ромба удалена от центра шара на расстояние, равное 4 см. Найдите площадь поверхности шара, если площадь ромба равна $36\sqrt{2}$ см$^2$.

Дано:

• Сторона ромба $a = 6\sqrt{2}$ см

• Площадь ромба $S_{ромба} = 36\sqrt{2}$ см$^2$

• Расстояние от плоскости ромба до центра шара $d = 4$ см

• Каждая сторона ромба касается шара

Перевод в СИ:

• $a = 6\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м

• $S_{ромба} = 36\sqrt{2} \cdot 10^{-4}$ м$^2$

• $d = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

• Площадь поверхности шара ($S_{шара}$)

Решение:

1. Если каждая сторона ромба касается шара, то это означает, что в ромб можно вписать окружность, и радиус этой окружности ($r_{вписанной}$) связан с радиусом шара ($R$) и расстоянием от центра шара до плоскости ромба ($d$) соотношением:

$R^2 = d^2 + r_{вписанной}^2$

2. Площадь ромба также может быть выражена через его сторону $a$ и высоту $h$: $S_{ромба} = a \cdot h$.

3. В ромб всегда можно вписать окружность, и ее радиус равен половине высоты ромба: $r_{вписанной} = \frac{h}{2}$.

4. Найдем высоту ромба $h$ из формулы площади:

$h = \frac{S_{ромба}}{a} = \frac{36\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = 6$ см

5. Найдем радиус вписанной окружности ромба:

$r_{вписанной} = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см

6. Теперь найдем радиус шара $R$ по теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r_{вписанной}^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$R = \sqrt{25} = 5$ см

7. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4\pi R^2$:

$S_{шара} = 4\pi (5)^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$ см$^2$

Ответ: $100\pi$ см$^2$