Номер 423, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

423. a) Шар радиуса $r$ вписан в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания конуса под углом $\varphi$. Найдите площадь основания конуса.

б) В конус вписан шар и через точки его касания с образующими проведено сечение шара плоскостью. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если радиус его основания $R$, а образующая составляет с основанием угол $45^\circ$.

а) Шар радиуса $r$ вписан в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания конуса под углом $\varphi$. Найдите площадь основания конуса.

Дано:
Радиус вписанного шара: $r$
Угол наклона образующей конуса к плоскости основания: $\varphi$

Найти:
Площадь основания конуса: $S_{осн}$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса с вписанным шаром. В сечении мы видим равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Пусть $V$ – вершина конуса, $B$ – центр основания, $A$ – точка на окружности основания. Тогда $VB$ – высота конуса $H$, $BA$ – радиус основания конуса $R_{кон}$, $VA$ – образующая конуса $L$. Угол $\angle VAB = \varphi$.

Центр вписанного шара $O_{ш}$ лежит на оси конуса $VB$. Поскольку шар вписан, он касается основания конуса, следовательно, расстояние от $O_{ш}$ до основания равно радиусу шара $r$, то есть $O_{ш}B = r$.
Значит, расстояние от вершины конуса до центра шара равно $VO_{ш} = H - r$.

Шар также касается образующей $VA$ в некоторой точке $K$. Радиус $O_{ш}K$ перпендикулярен образующей $VA$, то есть $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VBA$. Угол $\angle VAB = \varphi$. Тогда угол при вершине конуса в осевом сечении (полувертикальный угол конуса), $\alpha = \angle AVB = 90^\circ - \varphi$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_{ш}$. Угол $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$. Угол $\angle KVO_{ш}$ – это тот же полувертикальный угол конуса $\alpha$.
В $\triangle VKO_{ш}$ справедливо соотношение:
$\sin(\angle KVO_{ш}) = \frac{O_{ш}K}{VO_{ш}}$
$\sin \alpha = \frac{r}{H - r}$
Так как $\alpha = 90^\circ - \varphi$, то $\sin \alpha = \sin(90^\circ - \varphi) = \cos \varphi$.
Следовательно:
$\cos \varphi = \frac{r}{H - r}$
$H - r = \frac{r}{\cos \varphi}$
$H = r + \frac{r}{\cos \varphi} = r \left(1 + \frac{1}{\cos \varphi}\right) = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi}$.

Теперь найдем радиус основания конуса $R_{кон}$. В прямоугольном треугольнике $\triangle VBA$:
$R_{кон} = H \cot \varphi$
Подставим выражение для $H$:
$R_{кон} = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi} \cot \varphi = r \frac{\cos \varphi + 1}{\cos \varphi} \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi} = r \frac{1 + \cos \varphi}{\sin \varphi}$.

Используем тригонометрические формулы половинного угла: $1 + \cos \varphi = 2 \cos^2 (\varphi/2)$ и $\sin \varphi = 2 \sin (\varphi/2) \cos (\varphi/2)$.
$R_{кон} = r \frac{2 \cos^2 (\varphi/2)}{2 \sin (\varphi/2) \cos (\varphi/2)} = r \frac{\cos (\varphi/2)}{\sin (\varphi/2)} = r \cot (\varphi/2)$.

Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле площади круга:
$S_{осн} = \pi R_{кон}^2$
$S_{осн} = \pi (r \cot (\varphi/2))^2 = \pi r^2 \cot^2 (\varphi/2)$.

Ответ:
$S_{осн} = \pi r^2 \cot^2 (\varphi/2)$

б) В конус вписан шар и через точки его касания с образующими проведено сечение шара плоскостью. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения, если радиус его основания $R$, а образующая составляет с основанием угол $45^\circ$.

Дано:
Радиус основания конуса: $R_{кон} = R$
Угол наклона образующей конуса к плоскости основания: $\varphi = 45^\circ$
Сечение шара проходит через точки касания шара с образующими конуса.

Найти:
Расстояние от вершины конуса до плоскости сечения: $d$

Решение:
Пусть $H$ – высота конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей конуса:
$\tan \varphi = \frac{H}{R_{кон}}$
Так как $\varphi = 45^\circ$, то $\tan 45^\circ = 1$.
Следовательно, $H = R_{кон}$. Учитывая, что $R_{кон} = R$, получаем $H = R$.

Из решения части (а) мы знаем связь между радиусом вписанного шара $r$, радиусом основания конуса $R_{кон}$ и углом $\varphi$:
$R_{кон} = r \cot (\varphi/2)$
Подставим известные значения: $R_{кон} = R$ и $\varphi = 45^\circ$.
$R = r \cot (45^\circ/2) = r \cot (22.5^\circ)$.
Значение $\cot(22.5^\circ)$ можно найти как $\cot(45^\circ/2) = \frac{1 + \cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{1 + \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{(2+\sqrt{2})/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}+1$.
Таким образом, $R = r(\sqrt{2}+1)$.
Выразим радиус шара $r$ через $R$:
$r = \frac{R}{\sqrt{2}+1} = \frac{R(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{R(\sqrt{2}-1)}{2-1} = R(\sqrt{2}-1)$.

Плоскость сечения шара, проходящая через точки касания шара с образующими, перпендикулярна оси конуса (из соображений симметрии). Пусть $V$ – вершина конуса, $O_{ш}$ – центр шара, $K$ – точка касания шара с образующей. Точка $K$ лежит в плоскости сечения. Расстояние, которое нужно найти, – это перпендикуляр от вершины $V$ до плоскости сечения. Назовем эту точку $M$. $VM$ является частью высоты конуса. $M$ – это проекция точки $K$ на ось конуса $VB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_{ш}$. Угол $\angle VKO_{ш} = 90^\circ$. $O_{ш}K = r$.
Полувертикальный угол конуса $\alpha$ равен $90^\circ - \varphi = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Этот угол также равен $\angle KVO_{ш}$.
В $\triangle VKO_{ш}$:
$\cos \alpha = \frac{VK}{VO_{ш}}$ и $\sin \alpha = \frac{O_{ш}K}{VO_{ш}}$.
Мы знаем $O_{ш}K = r$.
$VO_{ш} = \frac{O_{ш}K}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin 45^\circ} = \frac{r}{1/\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.
Также мы знаем, что $VO_{ш} = H-r$.
Следовательно, $H-r = r\sqrt{2}$, что дает $H = r(1+\sqrt{2})$. Это согласуется с ранее полученным $H=R$ и $r=R(\sqrt{2}-1)$, так как $R(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = R((\sqrt{2})^2 - 1^2) = R(2-1)=R$.

Расстояние $d$ от вершины конуса до плоскости сечения – это длина отрезка $VM$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle VMK$ (где $M$ – проекция $K$ на $VB$), $VM$ – это катет, прилежащий к углу $\angle KVM = \alpha = 45^\circ$. Гипотенуза этого треугольника – $VK$.
Сначала найдем $VK$ из $\triangle VKO_{ш}$:
$VK = VO_{ш} \cos \alpha = (r\sqrt{2}) \cos 45^\circ = (r\sqrt{2}) (1/\sqrt{2}) = r$.

Теперь найдем $d = VM$:
$d = VK \cos \alpha = r \cos 45^\circ = r (1/\sqrt{2}) = \frac{r\sqrt{2}}{2}$.

Подставим выражение для $r$ через $R$:
$d = \frac{R(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{R(2-\sqrt{2})}{2} = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Ответ:
$d = R\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$