Номер 422, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

422. Дан усеченный конус, в который можно вписать шар. Высота этого конуса равна 6 см, а диаметр одного из оснований – 9 см. Найдите диаметр второго основания.

Дано:
Высота усеченного конуса $H = 6$ см
Диаметр одного из оснований $D_1 = 9$ см

Перевод в СИ:
$H = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$D_1 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:
Диаметр второго основания $D_2$.

Решение:
Если в усеченный конус можно вписать шар, то высота конуса $H$ равна диаметру этого шара. Также известно, что образующая $L$ усеченного конуса равна сумме радиусов его оснований $r_1$ и $r_2$.
Радиус первого основания $r_1$ вычисляется как половина его диаметра:
$r_1 = D_1 / 2 = 9 \text{ см} / 2 = 4.5 \text{ см}$.
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписана окружность (сечение шара). В такой трапеции сумма противоположных сторон равна. Таким образом, сумма оснований трапеции (которые являются диаметрами оснований конуса) равна сумме ее боковых сторон (которые являются образующими конуса).
Поэтому $2r_1 + 2r_2 = L + L$, что упрощается до $r_1 + r_2 = L$.
Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, разностью радиусов оснований $|r_1 - r_2|$ и образующей $L$, по теореме Пифагора имеем:
$L^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
Подставим выражение для $L$ из условия вписанного шара ($L = r_1 + r_2$):
$(r_1 + r_2)^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$
Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:
$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = H^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$
Вычтем $r_1^2$ и $r_2^2$ из обеих частей уравнения:
$2r_1r_2 = H^2 - 2r_1r_2$
Перенесем $-2r_1r_2$ в левую часть:
$4r_1r_2 = H^2$
Это ключевая формула для усеченного конуса с вписанным шаром. Теперь подставим известные значения:
$4 \times (4.5 \text{ см}) \times r_2 = (6 \text{ см})^2$
$18 \text{ см} \times r_2 = 36 \text{ см}^2$
$r_2 = 36 \text{ см}^2 / 18 \text{ см}$
$r_2 = 2 \text{ см}$
Диаметр второго основания $D_2$ равен удвоенному радиусу $r_2$:
$D_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см