Номер 428, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

428. Около конуса описан шар, площадь большого круга которого равна $4\pi \text{ см}^2$, и в него вписан шар. Найдите радиус вписанного в конус шара, если образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом $30^\circ$.

Дано:

Площадь большого круга описанного шара: $S_{БК} = 4\pi \text{ см}^2$

Угол наклона образующей конуса к плоскости его основания: $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ: $S_{БК} = 4\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанного в конус шара: $r_s$

Решение:

1. Найдем радиус описанного около конуса шара ($R_s$), используя площадь его большого круга. Формула площади большого круга шара: $S_{БК} = \pi R_s^2$.

$4\pi = \pi R_s^2$

$R_s^2 = 4$

$R_s = 2 \text{ см}$

2. Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, вершина которого является вершиной конуса, а основание - диаметром основания конуса. Радиус описанного шара $R_s$ является радиусом окружности, описанной около этого равнобедренного треугольника.

Обозначим высоту конуса $H_k$, радиус основания конуса $R_k$, и образующую конуса $L_k$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей конуса (в осевом сечении), имеем следующие соотношения:

$H_k = L_k \sin \alpha$

$R_k = L_k \cos \alpha$

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, связан с его сторонами и высотой формулой: $R_s = \frac{L_k^2}{2H_k}$.

Подставим $L_k = H_k / \sin \alpha$ в формулу для $R_s$:

$R_s = \frac{(H_k / \sin \alpha)^2}{2H_k} = \frac{H_k^2 / \sin^2 \alpha}{2H_k} = \frac{H_k}{2\sin^2 \alpha}$

Отсюда выразим высоту конуса $H_k$:

$H_k = 2R_s \sin^2 \alpha$

Подставим известные значения $R_s = 2 \text{ см}$ и $\alpha = 30^\circ$:

$H_k = 2 \cdot 2 \cdot (\sin 30^\circ)^2 = 4 \cdot (1/2)^2 = 4 \cdot (1/4) = 1 \text{ см}$

3. Теперь найдем радиус основания конуса $R_k$, используя найденную высоту $H_k$ и угол $\alpha$:

$R_k = H_k / \tan \alpha = 1 / \tan 30^\circ = 1 / (1/\sqrt{3}) = \sqrt{3} \text{ см}$

4. Радиус шара $r_s$, вписанного в конус, связан с радиусом основания конуса $R_k$ и углом наклона образующей $\alpha$ следующей формулой:

$r_s = R_k \tan(\alpha/2)$

Подставим значения $R_k = \sqrt{3} \text{ см}$ и $\alpha = 30^\circ$. Тогда $\alpha/2 = 15^\circ$:

$r_s = \sqrt{3} \tan(15^\circ)$

Вычислим значение $\tan(15^\circ)$ с помощью формулы тангенса разности углов $\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\tan(15^\circ) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для $r_s$:

$r_s = \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})$

$r_s = 2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2$

$r_s = 2\sqrt{3} - 3 \text{ см}$

Ответ:

$2\sqrt{3} - 3 \text{ см}$