Номер 430, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

430. Найдите площадь поверхности шара вписанного:

a) в куб, площадь полной поверхности которого равна $S$;

б) в равносторонний конус, площадь полной поверхности которого равна $Q$.

Дано:

а) Шар вписан в куб.

Площадь полной поверхности куба: $S$.

б) Шар вписан в равносторонний конус.

Площадь полной поверхности конуса: $Q$.

Перевод данных в систему СИ:

Не требуется, данные представлены в общем виде.

Найти:

а) Площадь поверхности шара $S_{шара}$

б) Площадь поверхности шара $S_{шара}$

Решение:

а) в куб, площадь полной поверхности которого равна S;

Пусть $a$ – длина стороны куба.

Площадь полной поверхности куба $S$ выражается формулой: $S = 6a^2$.

Отсюда найдем квадрат стороны куба $a^2 = \frac{S}{6}$.

Когда шар вписан в куб, его диаметр равен длине стороны куба. То есть $2r = a$, где $r$ – радиус шара.

Следовательно, $r = \frac{a}{2}$. Возведем обе части в квадрат: $r^2 = \frac{a^2}{4}$.

Подставим $a^2 = \frac{S}{6}$ в выражение для $r^2$:

$r^2 = \frac{S/6}{4} = \frac{S}{24}$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi r^2$.

Подставим значение $r^2 = \frac{S}{24}$:

$S_{шара} = 4\pi \left(\frac{S}{24}\right) = \frac{4\pi S}{24} = \frac{\pi S}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi S}{6}$

б) в равносторонний конус, площадь полной поверхности которого равна Q.

Равносторонний конус – это конус, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником. Это означает, что образующая конуса $l$ равна диаметру основания $2R_{конуса}$, где $R_{конуса}$ – радиус основания конуса. То есть $l = 2R_{конуса}$.

Площадь полной поверхности конуса $Q$ выражается формулой: $Q = \pi R_{конуса}^2 + \pi R_{конуса} l$.

Подставим $l = 2R_{конуса}$ в формулу для $Q$:

$Q = \pi R_{конуса}^2 + \pi R_{конуса} (2R_{конуса})$

$Q = \pi R_{конуса}^2 + 2\pi R_{конуса}^2$

$Q = 3\pi R_{конуса}^2$.

Отсюда найдем $R_{конуса}^2$: $R_{конуса}^2 = \frac{Q}{3\pi}$.

Высота равностороннего конуса $h$ связана с $R_{конуса}$ и $l$ соотношением Пифагора: $h^2 + R_{конуса}^2 = l^2$.

$h^2 = l^2 - R_{конуса}^2 = (2R_{конуса})^2 - R_{конуса}^2 = 4R_{конуса}^2 - R_{конуса}^2 = 3R_{конуса}^2$.

Следовательно, $h = \sqrt{3R_{конуса}^2} = R_{конуса}\sqrt{3}$.

Радиус шара $r$, вписанного в конус, вычисляется по формуле: $r = \frac{R_{конуса} h}{R_{конуса} + l}$.

Подставим значения $h = R_{конуса}\sqrt{3}$ и $l = 2R_{конуса}$:

$r = \frac{R_{конуса} (R_{конуса}\sqrt{3})}{R_{конуса} + 2R_{конуса}} = \frac{R_{конуса}^2\sqrt{3}}{3R_{конуса}} = \frac{R_{конуса}\sqrt{3}}{3}$.

Возведем $r$ в квадрат, чтобы использовать в формуле площади поверхности шара:

$r^2 = \left(\frac{R_{конуса}\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{R_{конуса}^2 \cdot 3}{9} = \frac{R_{конуса}^2}{3}$.

Теперь подставим $R_{конуса}^2 = \frac{Q}{3\pi}$ в выражение для $r^2$:

$r^2 = \frac{Q/3\pi}{3} = \frac{Q}{9\pi}$.

Площадь поверхности шара $S_{шара}$ вычисляется по формуле: $S_{шара} = 4\pi r^2$.

Подставим значение $r^2 = \frac{Q}{9\pi}$:

$S_{шара} = 4\pi \left(\frac{Q}{9\pi}\right) = \frac{4\pi Q}{9\pi} = \frac{4Q}{9}$.

Ответ: $\frac{4Q}{9}$