Номер 424, страница 131 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

424. В усеченный конус, радиусы оснований которого 9 дм и 6 дм, вписан шар. Найдите угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания.

Дано:

Радиус нижнего основания усеченного конуса $R_1 = 9$ дм

Радиус верхнего основания усеченного конуса $R_2 = 6$ дм

В усеченный конус вписан шар.

Перевод в СИ:

$R_1 = 9$ дм $= 0.9$ м

$R_2 = 6$ дм $= 0.6$ м

Найти:

Угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания $\alpha$.

Решение:

Когда в усеченный конус вписан шар, длина образующей (наклонной) $L$ равна сумме радиусов его оснований.
$L = R_1 + R_2$
Подставляем данные значения:
$L = 9 \text{ дм} + 6 \text{ дм} = 15 \text{ дм}$
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию, в которую вписан круг (сечение шара).
Высота усеченного конуса $H$ является также высотой этой трапеции.
Проекция образующей на плоскость основания равна разности радиусов оснований: $R_1 - R_2$.
В прямоугольном треугольнике, образованном образующей $L$, высотой $H$ и проекцией образующей на плоскость основания $(R_1 - R_2)$, угол наклона $\alpha$ образующей к плоскости нижнего основания можно найти через косинус.
$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\cos(\alpha) = \frac{R_1 - R_2}{L}$
Подставляем известные значения:
$R_1 - R_2 = 9 \text{ дм} - 6 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$
$\cos(\alpha) = \frac{3 \text{ дм}}{15 \text{ дм}} = \frac{1}{5}$
Чтобы найти угол $\alpha$, возьмем арккосинус от полученного значения:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{5}\right)$

Ответ:

Угол наклона образующей усеченного конуса к плоскости его нижнего основания равен $\arccos\left(\frac{1}{5}\right)$.