Номер 431, страница 132 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

431. В конус вписана сфера радиуса $R$. Окружность касания этой сферы с боковой поверхностью конуса является окружностью основания цилиндра, вписанного в сферу. Найдите площадь осевого сечения этого цилиндра, если образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом $\beta$.

Дано:

Радиус сферы, вписанной в конус: $R$.

Угол наклона образующей конуса к плоскости его основания: $\beta$.

Окружность касания сферы с боковой поверхностью конуса является окружностью основания цилиндра, вписанного в сферу.

Перевод всех данных в систему СИ:

Размеры даны в символьном виде, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{цил}$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса, сферы и цилиндра. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Осевое сечение вписанной сферы — это круг, вписанный в этот треугольник. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, вписанный в круг, соответствующий осевому сечению сферы.

Пусть $R$ — радиус вписанной сферы. Центр вписанной сферы находится на оси конуса на расстоянии $R$ от его основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом его основания и образующей. Угол между образующей и радиусом основания (гипотенузой и катетом, лежащим на основании) равен $\beta$.

Центр сферы, вписанной в конус, лежит на оси конуса. Радиус сферы $R$ перпендикулярен образующей в точке касания и перпендикулярен основанию конуса в его центре.

Радиус основания цилиндра, $r_{цил}$, соответствует расстоянию от оси конуса до точки касания сферы с образующей конуса в осевом сечении. В осевом сечении, если центр сферы находится на оси конуса на высоте $R$ от основания, то, опуская перпендикуляр из центра сферы на образующую (этот перпендикуляр равен $R$), мы можем определить координаты точки касания. Угол между радиусом сферы, проведенным в точку касания на образующей, и горизонтальной линией, проходящей через центр сферы, равен $\beta$. Таким образом, радиус основания цилиндра $r_{цил}$ (горизонтальная координата точки касания от оси) равен: $r_{цил} = R \sin \beta$.

Цилиндр вписан в сферу, и его основание является окружностью касания сферы с боковой поверхностью конуса. Это означает, что точки окружности основания цилиндра лежат на поверхности сферы. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, вписанный в круг, являющийся осевым сечением сферы. Стороны этого прямоугольника — диаметр основания цилиндра $2r_{цил}$ и высота цилиндра $h_{цил}$. Для цилиндра, вписанного в сферу радиуса $R$, выполняется соотношение: $(h_{цил}/2)^2 + r_{цил}^2 = R^2$.

Подставим $r_{цил} = R \sin \beta$: $(h_{цил}/2)^2 + (R \sin \beta)^2 = R^2$. $(h_{цил}/2)^2 = R^2 - R^2 \sin^2 \beta$. $(h_{цил}/2)^2 = R^2 (1 - \sin^2 \beta)$. $(h_{цил}/2)^2 = R^2 \cos^2 \beta$. Извлекая квадратный корень (поскольку $0 < \beta < \pi/2$, $\cos \beta > 0$): $h_{цил}/2 = R \cos \beta$. Следовательно, высота цилиндра: $h_{цил} = 2 R \cos \beta$.

Площадь осевого сечения цилиндра $S_{цил}$ является площадью прямоугольника со сторонами $2r_{цил}$ и $h_{цил}$: $S_{цил} = (2r_{цил}) \times h_{цил}$. $S_{цил} = (2 R \sin \beta) \times (2 R \cos \beta)$. $S_{цил} = 4 R^2 \sin \beta \cos \beta$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta$: $S_{цил} = 2 R^2 (2 \sin \beta \cos \beta) = 2 R^2 \sin(2\beta)$.

Ответ:

Площадь осевого сечения цилиндра составляет $S_{цил} = 2 R^2 \sin(2\beta)$.