Номер 405, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

405. a) Каждая сторона ромба, равная $6\sqrt{2}$ см, касается шара, радиус которого 5 см. Найдите площадь ромба, если его плоскость удалена от центра шара на 4 см.

б) Диагонали ромба 15 см и 20 см. Сфера радиуса 10 см касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

a)

Дано:
Сторона ромба $a = 6\sqrt{2}$ см
Радиус шара $R = 5$ см
Расстояние от центра шара до плоскости ромба $d = 4$ см

Перевод в СИ:
$a = 6\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м
$R = 5 \cdot 10^{-2}$ м
$d = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:
Площадь ромба $S$

Решение:
Поскольку каждая сторона ромба касается шара, это означает, что в ромб можно вписать окружность, и центр этой окружности будет лежать на перпендикуляре, опущенном из центра шара на плоскость ромба. Радиус этой вписанной окружности $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости ромба соотношением Пифагора:

$r^2 + d^2 = R^2$

Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ см.

Площадь ромба может быть найдена как произведение стороны на высоту. Высота ромба $h$ равна удвоенному радиусу вписанной окружности: $h = 2r$.

$h = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем площадь ромба $S$:

$S = a \cdot h = 6\sqrt{2} \cdot 6 = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.

б)

Дано:
Диагональ ромба $d_1 = 15$ см
Диагональ ромба $d_2 = 20$ см
Радиус сферы $R = 10$ см

Перевод в СИ:
$d_1 = 15 \cdot 10^{-2}$ м
$d_2 = 20 \cdot 10^{-2}$ м
$R = 10 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:
Расстояние от центра сферы до плоскости ромба $h_{сферы}$

Решение:
Сначала найдем площадь ромба по его диагоналям:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см$^2$.

Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и взаимно перпендикулярны. Используя теорему Пифагора для половины диагоналей:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

$a = \sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2 + \left(\frac{20}{2}\right)^2} = \sqrt{(7.5)^2 + (10)^2} = \sqrt{56.25 + 100} = \sqrt{156.25} = 12.5$ см.

Поскольку сфера касается всех сторон ромба, в ромб можно вписать окружность. Радиус этой вписанной окружности $r$ связан с площадью ромба $S$ и его стороной $a$ формулой $S = a \cdot h$, где $h$ - высота ромба, а $h = 2r$.

$r = \frac{S}{2a} = \frac{150}{2 \cdot 12.5} = \frac{150}{25} = 6$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости ромба $h_{сферы}$, радиус сферы $R$ и радиус вписанной в ромб окружности $r$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой:

$h_{сферы}^2 + r^2 = R^2$

$h_{сферы} = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.