Номер 401, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

401. a) Сфера радиуса 10 см проходит через вершины $A, B, D$ параллелограмма $ABCD$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости параллелограмма, если $AD = BD = 10 \text{ см}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$.

б) Сфера проходит через три вершины ромба со стороной 12 см и углом $60^{\circ}$. Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы 8 см.

a)

Дано:

Радиус сферы $R = 10 \text{ см}$.

Параллелограмм $ABCD$.

Вершины $A, B, D$ лежат на сфере.

$AD = 10 \text{ см}$.

$BD = 10 \text{ см}$.

$\angle BCD = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в сантиметрах, что допустимо для геометрических задач без необходимости прямого перевода в метры для вычислений, если конечный ответ также требуется в сантиметрах.

Найти:

Расстояние от центра сферы до плоскости параллелограмма $h$.

Решение:

Пусть $O$ - центр сферы, а $O'$ - его проекция на плоскость параллелограмма $ABCD$. Расстояние $h = OO'$. Так как вершины $A, B, D$ лежат на сфере, $OA = OB = OD = R$. Это означает, что $O'$ является центром описанной окружности треугольника $ABD$, а $R$ - радиусом сферы. Радиус описанной окружности треугольника $ABD$ обозначим как $r_{ABD}$. Тогда из прямоугольного треугольника $OO'A$ (или $OO'B$, $OO'D$) следует, что $h^2 + r_{ABD}^2 = R^2$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, $AD = BC$ и $AB = CD$.

Из условия дано $AD = 10 \text{ см}$, следовательно $BC = 10 \text{ см}$.

Также дано $BD = 10 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике $BC = 10 \text{ см}$, $BD = 10 \text{ см}$, $\angle BCD = 45^\circ$. Поскольку две стороны $BC$ и $BD$ равны, треугольник $BCD$ является равнобедренным. Углы при основании $CD$ равны: $\angle BDC = \angle BCD = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $BCD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle CBD = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BCD$ является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Найдем длину стороны $CD$ (которая также является $AB$) по теореме Пифагора:

$CD^2 = BC^2 + BD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.

$CD = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см}$. Значит, $AB = 10\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны: $AD = 10 \text{ см}$, $BD = 10 \text{ см}$, $AB = 10\sqrt{2} \text{ см}$.

Проверим соотношение сторон: $AD^2 + BD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.

$AB^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$.

Поскольку $AD^2 + BD^2 = AB^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным по обратной теореме Пифагора, с прямым углом при вершине $D$ ($\angle ADB = 90^\circ$).

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. Гипотенуза в $\triangle ABD$ - это $AB$.

$r_{ABD} = \frac{AB}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти расстояние $h$ от центра сферы до плоскости параллелограмма:

$h^2 = R^2 - r_{ABD}^2$

$h^2 = 10^2 - (5\sqrt{2})^2 = 100 - (25 \cdot 2) = 100 - 50 = 50$.

$h = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $5\sqrt{2} \text{ см}$

б)

Дано:

Ромб со стороной $a = 12 \text{ см}$.

Угол ромба $\alpha = 60^\circ$.

Сфера проходит через три вершины ромба.

Радиус сферы $R = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в сантиметрах, что допустимо для геометрических задач без необходимости прямого перевода в метры для вычислений, если конечный ответ также требуется в сантиметрах.

Найти:

Расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба.

Решение:

Пусть ромб - $ABCD$. Так как одна из сторон равна $12 \text{ см}$, все стороны ромба равны $12 \text{ см}$.

Если один из углов ромба равен $60^\circ$, то смежный угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Пусть $\angle A = 60^\circ$. Тогда $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle D = 120^\circ$.

Сфера проходит через три вершины. Рассмотрим возможные комбинации вершин, через которые проходит сфера:

1. Сфера проходит через вершины $A, B, C$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB = BC = 12 \text{ см}$, $\angle B = 120^\circ$.

Найдем длину диагонали $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 144 + 144 - 288 \cdot (-\frac{1}{2}) = 288 + 144 = 432$.

$AC = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \text{ см}$.

Найдем радиус описанной окружности $r_{ABC}$ для треугольника $ABC$ по формуле $r = \frac{abc}{4K}$, где $a, b, c$ - стороны, $K$ - площадь.

Площадь $K = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$.

$r_{ABC} = \frac{12 \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3}}{4 \cdot 36\sqrt{3}} = \frac{1728\sqrt{3}}{144\sqrt{3}} = 12 \text{ см}$.

Пусть $O$ - центр сферы. Его проекция $O'$ на плоскость ромба является центром описанной окружности $\triangle ABC$. Расстояние от $O$ до плоскости ромба равно $h$. Тогда $h^2 = R^2 - r_{ABC}^2$.

$h^2 = 8^2 - 12^2 = 64 - 144 = -80$.

Так как $h^2$ не может быть отрицательным, данный случай (прохождение сферы через $A, B, C$) невозможен, поскольку радиус сферы меньше радиуса описанной окружности.

2. Сфера проходит через вершины $A, B, D$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем $AB = AD = 12 \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$.

Так как треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, $BD = 12 \text{ см}$.

Радиус описанной окружности $r_{ABD}$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$r_{ABD} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Проверим условие $R \ge r_{ABD}$: $8 \ge 4\sqrt{3}$. Возведем обе части в квадрат: $8^2 = 64$, $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $64 \ge 48$, данный случай возможен.

Пусть $O$ - центр сферы, $O'$ - его проекция на плоскость ромба (центр описанной окружности $\triangle ABD$). Расстояние $h = OO'$.

$h^2 = R^2 - r_{ABD}^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 48 = 16$.

$h = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь найдем расстояние от центра сферы $O$ до четвертой вершины ромба, которая является вершиной $C$.

Проекция $O'$ (центр описанной окружности $\triangle ABD$) совпадает с центроидом $\triangle ABD$ (так как он равносторонний).

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ под прямым углом и делятся пополам.

В $\triangle ABD$, $M$ является серединой $BD$. $AM$ - медиана и высота. Длина $AM = \sqrt{AB^2 - BM^2}$. Так как $BD=12$, $BM=BD/2 = 6 \text{ см}$.

$AM = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Центр $O'$ равностороннего треугольника $ABD$ лежит на медиане $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

$AO' = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$. (Это равно $r_{ABD}$, как и должно быть).

$O'M = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Вершина $C$ лежит на диагонали $AC$. $CM = AM = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Расстояние от $O'$ до $C$ в плоскости ромба равно $O'C = O'M + MC = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем расстояние $OC$ от центра сферы до вершины $C$ с использованием $h$ (расстояние от $O$ до плоскости) и $O'C$ (расстояние в плоскости):

$OC^2 = h^2 + (O'C)^2$

$OC^2 = 4^2 + (8\sqrt{3})^2 = 16 + (64 \cdot 3) = 16 + 192 = 208$.

$OC = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \text{ см}$.

Данный случай является единственно возможным.

Ответ: $4\sqrt{13} \text{ см}$