Номер 403, страница 125 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

403. a) Сфера касается плоскости треугольника со сторонами 6 см, 8 см, 10 см в центре описанной около него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до вершин треугольника, если радиус сферы равен 12 см.

б) Сфера касается плоскости треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см в центре вписанной в него окружности. Найдите расстояние от центра сферы до сторон треугольника, если радиус сферы равен 2,4 см.

а)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 6$ см, $b = 8$ см, $c = 10$ см.
Радиус сферы: $R_{сферы} = 12$ см.
Сфера касается плоскости треугольника в центре описанной около него окружности.

Перевод в СИ:

$a = 6 \cdot 10^{-2}$ м
$b = 8 \cdot 10^{-2}$ м
$c = 10 \cdot 10^{-2}$ м
$R_{сферы} = 12 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Расстояние от центра сферы до вершин треугольника, $L$.

Решение:

1. Определим тип треугольника. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон $6$ см, $8$ см, $10$ см:
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$10^2 = 100$.
Так как $6^2 + 8^2 = 10^2$, треугольник является прямоугольным.

2. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус $R_{окр}$ равен половине гипотенузы.
Гипотенуза $c = 10$ см.
$R_{окр} = \frac{c}{2} = \frac{10 \text{ см}}{2} = 5$ см.

3. По условию, сфера касается плоскости треугольника в центре описанной окружности. Это означает, что отрезок, соединяющий центр сферы с центром описанной окружности (точкой касания), перпендикулярен плоскости треугольника и равен радиусу сферы.
Пусть $O$ - центр сферы, а $C$ - центр описанной окружности. Расстояние $OC$ является перпендикуляром к плоскости треугольника.$OC = R_{сферы} = 12$ см.

4. Рассмотрим любую вершину треугольника, например $A$. Расстояние от центра описанной окружности $C$ до вершины $A$ равно радиусу описанной окружности, т.е. $CA = R_{окр} = 5$ см.

5. Образуется прямоугольный треугольник $OCA$, где $OC$ - один катет, $CA$ - другой катет, а $OA$ - гипотенуза, которая является искомым расстоянием от центра сферы до вершины треугольника.
По теореме Пифагора:
$L^2 = OA^2 = OC^2 + CA^2$
$L^2 = (12 \text{ см})^2 + (5 \text{ см})^2$
$L^2 = 144 + 25$
$L^2 = 169$
$L = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

б)

Дано:

Стороны треугольника: $a = 3$ см, $b = 4$ см, $c = 5$ см.
Радиус сферы: $R_{сферы} = 2,4$ см.
Сфера касается плоскости треугольника в центре вписанной в него окружности.

Перевод в СИ:

$a = 3 \cdot 10^{-2}$ м
$b = 4 \cdot 10^{-2}$ м
$c = 5 \cdot 10^{-2}$ м
$R_{сферы} = 2.4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Расстояние от центра сферы до сторон треугольника, $L'$.

Решение:

1. Определим тип треугольника. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для сторон $3$ см, $4$ см, $5$ см:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$5^2 = 25$.
Так как $3^2 + 4^2 = 5^2$, треугольник является прямоугольным.

2. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r_{вп}$ может быть найден по формуле $r_{вп} = \frac{a+b-c}{2}$, где $c$ - гипотенуза.
$r_{вп} = \frac{3 \text{ см} + 4 \text{ см} - 5 \text{ см}}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.

3. По условию, сфера касается плоскости треугольника в центре вписанной окружности. Это означает, что отрезок, соединяющий центр сферы с центром вписанной окружности (точкой касания), перпендикулярен плоскости треугольника и равен радиусу сферы.
Пусть $O$ - центр сферы, а $I$ - центр вписанной окружности. Расстояние $OI$ является перпендикуляром к плоскости треугольника.$OI = R_{сферы} = 2.4$ см.

4. Рассмотрим любую сторону треугольника. Расстояние от центра вписанной окружности $I$ до любой стороны треугольника (измеренное по перпендикуляру к этой стороне) равно радиусу вписанной окружности. Пусть $M$ - точка касания вписанной окружности со стороной треугольника. Тогда $IM = r_{вп} = 1$ см.

5. Образуется прямоугольный треугольник $OIM$, где $OI$ - один катет, $IM$ - другой катет, а $OM$ - гипотенуза, которая является искомым расстоянием от центра сферы до стороны треугольника.
По теореме Пифагора:
$L'^2 = OM^2 = OI^2 + IM^2$
$L'^2 = (2.4 \text{ см})^2 + (1 \text{ см})^2$
$L'^2 = 5.76 + 1$
$L'^2 = 6.76$
$L' = \sqrt{6.76} = 2.6$ см.

Ответ: 2.6 см.