Номер 396, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

396. a)

Два касающихся шара, радиусы которых 7 дм и 1 дм, имеют общую касательную $AB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Найдите расстояние $AB$.

б)

Два касающихся шара, радиусы которых 8 см и 12 см, лежат на плоскости. Найдите расстояние от точки касания шаров до этой плоскости.

а)

Дано:

$R_1 = 7 \text{ дм}$

$R_2 = 1 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.7 \text{ м}$

$R_2 = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $AB$.

Решение:

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры шаров, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы соответственно. Пусть $A$ и $B$ — точки касания общей внешней касательной $AB$ с шарами. Отрезки $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами, проведенными в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательной $AB$. Длины этих отрезков равны $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Расстояние между центрами двух касающихся шаров равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R_1 + R_2$.

Проведем из центра меньшего шара $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, до пересечения с радиусом большего шара $O_1A$ в точке $H$. Полученный четырехугольник $ABHO_2$ является прямоугольником, поскольку $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, и $O_2H \parallel AB$. Отсюда следует, что $AB = O_2H$ и $AH = O_2B = R_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1HO_2$. Его гипотенуза $O_1O_2 = R_1 + R_2$. Один из катетов $O_1H = O_1A - AH = R_1 - R_2$. Второй катет $O_2H = AB$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1HO_2$:

$(O_2H)^2 + (O_1H)^2 = (O_1O_2)^2$

$(AB)^2 + (R_1 - R_2)^2 = (R_1 + R_2)^2$

Выразим $(AB)^2$:

$(AB)^2 = (R_1 + R_2)^2 - (R_1 - R_2)^2$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ или раскроем скобки:

$(AB)^2 = (R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2) - (R_1^2 - 2R_1R_2 + R_2^2)$

$(AB)^2 = R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2 - R_1^2 + 2R_1R_2 - R_2^2$

$(AB)^2 = 4R_1R_2$

Извлекаем квадратный корень:

$AB = \sqrt{4R_1R_2} = 2\sqrt{R_1R_2}$

Подставим числовые значения радиусов:

$AB = 2\sqrt{7 \text{ дм} \cdot 1 \text{ дм}} = 2\sqrt{7 \text{ дм}^2} = 2\sqrt{7} \text{ дм}$.

Ответ: $2\sqrt{7} \text{ дм}$.

б)

Дано:

$R_1 = 8 \text{ см}$

$R_2 = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.08 \text{ м}$

$R_2 = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки касания шаров до плоскости.

Решение:

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$. Шары касаются плоскости, поэтому перпендикулярные расстояния от их центров до плоскости равны их радиусам $R_1$ и $R_2$. Пусть $P_1$ и $P_2$ — точки касания шаров с плоскостью.

Шары касаются друг друга, и точка их касания $K$ лежит на отрезке, соединяющем их центры $O_1O_2$. Длина отрезка $O_1O_2$ равна $R_1 + R_2$. При этом расстояние от $O_1$ до $K$ равно $R_1$, а от $O_2$ до $K$ равно $R_2$. Это означает, что точка $K$ делит отрезок $O_1O_2$ в отношении $R_1:R_2$ (считая от $O_1$).

Рассмотрим сечение, проходящее через центры шаров $O_1, O_2$ и точки касания с плоскостью $P_1, P_2$. В этом сечении точки $P_1, P_2$ лежат на одной прямой (линии пересечения плоскости с сечением), а отрезки $O_1P_1$ и $O_2P_2$ перпендикулярны этой прямой (и плоскости). Таким образом, $P_1O_1O_2P_2$ образует прямоугольную трапецию.

Для нахождения расстояния от точки $K$ до плоскости (обозначим его как $h_K$) можно использовать свойство подобия или формулу для $y$-координаты точки, делящей отрезок. Если принять плоскость за ось X, то "высота" (ордината) центра $O_1$ равна $R_1$, а центра $O_2$ равна $R_2$. Точка $K$ находится на отрезке $O_1O_2$ и делит его в отношении $R_1:R_2$. Тогда ее "высота" $h_K$ будет определяться как взвешенное среднее высот $R_1$ и $R_2$ с весами, обратными этим отношениям:

$h_K = \frac{R_2 \cdot R_1 + R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Эта формула упрощается до:

$h_K = \frac{2R_1R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения радиусов:

$h_K = \frac{2 \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}}{8 \text{ см} + 12 \text{ см}}$

$h_K = \frac{2 \cdot 96 \text{ см}^2}{20 \text{ см}}$

$h_K = \frac{192 \text{ см}^2}{20 \text{ см}}$

$h_K = 9.6 \text{ см}$.

Ответ: $9.6 \text{ см}$.