Страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

395. Шар радиуса $3 \text{ см}$ касается двух параллельных плоскостей в точках A и B. Через середину отрезка AB проведена прямая, составляющая с прямой AB угол $60^\circ$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между данными плоскостями.

Дано:

Радиус шара: $R = 3$ см

Точки касания шара с параллельными плоскостями: $A$, $B$

Прямая $L$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$.

Угол между прямой $L$ и прямой $AB$: $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$R = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Длина отрезка прямой $L$, заключенного между плоскостями: $XY$

Решение:

1. Поскольку шар радиуса $R$ касается двух параллельных плоскостей в точках $A$ и $B$, то отрезок $AB$ является диаметром шара и перпендикулярен обеим плоскостям. Следовательно, длина отрезка $AB$ равна диаметру шара: $AB = 2R$. Подставляя значение радиуса, получаем $AB = 2 \times 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Эта длина $AB$ также является расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

2. Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Поскольку $AB$ перпендикулярен плоскостям, точка $M$ равноудалена от обеих плоскостей. Расстояние от $M$ до каждой плоскости равно $R = 3$ см.

3. Прямая $L$ проходит через $M$. Пусть $X$ - точка пересечения прямой $L$ с первой плоскостью, а $Y$ - точка пересечения прямой $L$ со второй плоскостью. Нам нужно найти длину отрезка $XY$. Так как $M$ является серединой отрезка $AB$ (который перпендикулярен плоскостям) и прямая $L$ проходит через $M$, то $M$ является серединой отрезка $XY$. Это означает, что $XM = MY$, и $XY = 2 \cdot XM$.

4. Прямая $AB$ является нормалью к обеим плоскостям. Угол между прямой $L$ и прямой $AB$ равен $\alpha = 60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $XM$, проекцией этого отрезка на прямую $AB$ (которая равна расстоянию от $M$ до плоскости, т.е. $R$), и перпендикуляром от $X$ к прямой $AB$. В этом треугольнике $XM$ является гипотенузой, а $R$ - катетом, прилежащим к углу $\alpha$.

5. Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике имеем: $R = XM \cdot \cos \alpha$.

6. Подставим известные значения: $3 \text{ см} = XM \cdot \cos 60^\circ$.

7. Известно, что $\cos 60^\circ = 1/2$. Тогда $3 = XM \cdot (1/2)$.

8. Отсюда $XM = 3 / (1/2) = 3 \times 2 = 6$ см.

9. Длина искомого отрезка $XY$ равна $2 \cdot XM$, так как $M$ - середина $XY$. Следовательно, $XY = 2 \times 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ:

$12 \text{ см}$

396. a)

Два касающихся шара, радиусы которых 7 дм и 1 дм, имеют общую касательную $AB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Найдите расстояние $AB$.

б)

Два касающихся шара, радиусы которых 8 см и 12 см, лежат на плоскости. Найдите расстояние от точки касания шаров до этой плоскости.

а)

Дано:

$R_1 = 7 \text{ дм}$

$R_2 = 1 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.7 \text{ м}$

$R_2 = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $AB$.

Решение:

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры шаров, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы соответственно. Пусть $A$ и $B$ — точки касания общей внешней касательной $AB$ с шарами. Отрезки $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами, проведенными в точки касания, поэтому они перпендикулярны касательной $AB$. Длины этих отрезков равны $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Расстояние между центрами двух касающихся шаров равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R_1 + R_2$.

Проведем из центра меньшего шара $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$, до пересечения с радиусом большего шара $O_1A$ в точке $H$. Полученный четырехугольник $ABHO_2$ является прямоугольником, поскольку $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, и $O_2H \parallel AB$. Отсюда следует, что $AB = O_2H$ и $AH = O_2B = R_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $O_1HO_2$. Его гипотенуза $O_1O_2 = R_1 + R_2$. Один из катетов $O_1H = O_1A - AH = R_1 - R_2$. Второй катет $O_2H = AB$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1HO_2$:

$(O_2H)^2 + (O_1H)^2 = (O_1O_2)^2$

$(AB)^2 + (R_1 - R_2)^2 = (R_1 + R_2)^2$

Выразим $(AB)^2$:

$(AB)^2 = (R_1 + R_2)^2 - (R_1 - R_2)^2$

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ или раскроем скобки:

$(AB)^2 = (R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2) - (R_1^2 - 2R_1R_2 + R_2^2)$

$(AB)^2 = R_1^2 + 2R_1R_2 + R_2^2 - R_1^2 + 2R_1R_2 - R_2^2$

$(AB)^2 = 4R_1R_2$

Извлекаем квадратный корень:

$AB = \sqrt{4R_1R_2} = 2\sqrt{R_1R_2}$

Подставим числовые значения радиусов:

$AB = 2\sqrt{7 \text{ дм} \cdot 1 \text{ дм}} = 2\sqrt{7 \text{ дм}^2} = 2\sqrt{7} \text{ дм}$.

Ответ: $2\sqrt{7} \text{ дм}$.

б)

Дано:

$R_1 = 8 \text{ см}$

$R_2 = 12 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 0.08 \text{ м}$

$R_2 = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки касания шаров до плоскости.

Решение:

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры шаров с радиусами $R_1$ и $R_2$. Шары касаются плоскости, поэтому перпендикулярные расстояния от их центров до плоскости равны их радиусам $R_1$ и $R_2$. Пусть $P_1$ и $P_2$ — точки касания шаров с плоскостью.

Шары касаются друг друга, и точка их касания $K$ лежит на отрезке, соединяющем их центры $O_1O_2$. Длина отрезка $O_1O_2$ равна $R_1 + R_2$. При этом расстояние от $O_1$ до $K$ равно $R_1$, а от $O_2$ до $K$ равно $R_2$. Это означает, что точка $K$ делит отрезок $O_1O_2$ в отношении $R_1:R_2$ (считая от $O_1$).

Рассмотрим сечение, проходящее через центры шаров $O_1, O_2$ и точки касания с плоскостью $P_1, P_2$. В этом сечении точки $P_1, P_2$ лежат на одной прямой (линии пересечения плоскости с сечением), а отрезки $O_1P_1$ и $O_2P_2$ перпендикулярны этой прямой (и плоскости). Таким образом, $P_1O_1O_2P_2$ образует прямоугольную трапецию.

Для нахождения расстояния от точки $K$ до плоскости (обозначим его как $h_K$) можно использовать свойство подобия или формулу для $y$-координаты точки, делящей отрезок. Если принять плоскость за ось X, то "высота" (ордината) центра $O_1$ равна $R_1$, а центра $O_2$ равна $R_2$. Точка $K$ находится на отрезке $O_1O_2$ и делит его в отношении $R_1:R_2$. Тогда ее "высота" $h_K$ будет определяться как взвешенное среднее высот $R_1$ и $R_2$ с весами, обратными этим отношениям:

$h_K = \frac{R_2 \cdot R_1 + R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Эта формула упрощается до:

$h_K = \frac{2R_1R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения радиусов:

$h_K = \frac{2 \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}}{8 \text{ см} + 12 \text{ см}}$

$h_K = \frac{2 \cdot 96 \text{ см}^2}{20 \text{ см}}$

$h_K = \frac{192 \text{ см}^2}{20 \text{ см}}$

$h_K = 9.6 \text{ см}$.

Ответ: $9.6 \text{ см}$.

397. Даны три попарно касающихся шара, расстояния между центрами которых равны 8 см, 9 см, 10 см. Найдите диаметры этих шаров.

Дано:

Три попарно касающихся шара.

Расстояние между центрами первого и второго шара: $L_{12} = 8 \text{ см}$

Расстояние между центрами первого и третьего шара: $L_{13} = 9 \text{ см}$

Расстояние между центрами второго и третьего шара: $L_{23} = 10 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$L_{12} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$L_{13} = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

$L_{23} = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:

Диаметры шаров $D_1, D_2, D_3$.

Решение:

Пусть радиусы трех шаров равны $R_1, R_2, R_3$ соответственно. Поскольку шары попарно касаются, расстояние между центрами двух касающихся шаров равно сумме их радиусов.

Таким образом, мы можем составить систему линейных уравнений, используя данные расстояния:

$R_1 + R_2 = L_{12}$

$R_1 + R_3 = L_{13}$

$R_2 + R_3 = L_{23}$

Подставим численные значения. Для удобства расчетов будем использовать значения в сантиметрах, так как искомые диаметры также требуются в сантиметрах:

$R_1 + R_2 = 8 \quad (1)$

$R_1 + R_3 = 9 \quad (2)$

$R_2 + R_3 = 10 \quad (3)$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить $R_1$:

$(R_1 + R_3) - (R_1 + R_2) = 9 - 8$

$R_3 - R_2 = 1 \quad (4)$

Теперь сложим уравнение (3) и уравнение (4), чтобы исключить $R_2$ и найти $R_3$:

$(R_2 + R_3) + (R_3 - R_2) = 10 + 1$

$2R_3 = 11$

$R_3 = \frac{11}{2}$

$R_3 = 5.5 \text{ см}$

Подставим найденное значение $R_3$ в уравнение (2) для нахождения $R_1$:

$R_1 + 5.5 = 9$

$R_1 = 9 - 5.5$

$R_1 = 3.5 \text{ см}$

Подставим найденное значение $R_1$ в уравнение (1) для нахождения $R_2$:

$3.5 + R_2 = 8$

$R_2 = 8 - 3.5$

$R_2 = 4.5 \text{ см}$

Для проверки правильности радиусов подставим найденные значения $R_2$ и $R_3$ в уравнение (3):

$R_2 + R_3 = 4.5 + 5.5 = 10 \text{ см}$, что соответствует заданному расстоянию $L_{23}$.

Диаметр шара равен удвоенному радиусу ($D = 2R$). Найдем диаметры каждого шара:

$D_1 = 2R_1 = 2 \times 3.5 = 7 \text{ см}$

$D_2 = 2R_2 = 2 \times 4.5 = 9 \text{ см}$

$D_3 = 2R_3 = 2 \times 5.5 = 11 \text{ см}$

Ответ:

Диаметры шаров равны $7 \text{ см}$, $9 \text{ см}$ и $11 \text{ см}$.

398. Центр шара, касающегося двух взаимно перпендикулярных плоскостей, удален от общей прямой этих плоскостей на 8 см. Найдите радиус шара.

Дано:

Расстояние от центра шара до общей прямой двух взаимно перпендикулярных плоскостей: $L = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$L = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус шара: $R$

Решение:

Пусть центр шара имеет координаты $C(x_0, y_0, z_0)$.

Пусть две взаимно перпендикулярные плоскости - это координатные плоскости $x=0$ (плоскость $yz$) и $y=0$ (плоскость $xz$). Их общая прямая - это ось $z$.

Шар касается плоскости $x=0$. Это означает, что расстояние от центра шара до этой плоскости равно радиусу шара $R$. Расстояние от $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $x=0$ равно $|x_0|$. Следовательно, $|x_0| = R$.

Шар касается плоскости $y=0$. Это означает, что расстояние от центра шара до этой плоскости равно радиусу шара $R$. Расстояние от $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $y=0$ равно $|y_0|$. Следовательно, $|y_0| = R$.

Таким образом, центр шара имеет координаты $(R, R, z_0)$ (мы можем выбрать четверть, в которой $x_0$ и $y_0$ положительны без потери общности, так как радиус всегда положителен).

Расстояние от центра шара $C(R, R, z_0)$ до общей прямой плоскостей (оси $z$) вычисляется как расстояние от точки до прямой. Для оси $z$ это расстояние равно $\sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

По условию задачи, это расстояние равно $8 \text{ см}$.

То есть, $\sqrt{R^2 + R^2} = 8$.

Упрощаем выражение:

$\sqrt{2R^2} = 8$

$R\sqrt{2} = 8$

Выразим $R$:

$R = \frac{8}{\sqrt{2}}$

Избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$R = \frac{8\sqrt{2}}{2}$

$R = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ:

$4\sqrt{2} \text{ см}$

399. Город X находится на $60^\circ$ северной широты. Найдите длину пути, который совершает этот пункт за сутки вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли считать равным 6370 км. Ответ округлите до десятков километров.

Дано

широта города $\phi = 60^\circ$

радиус Земли $R = 6370$ км

период вращения Земли $T = 1$ сутки

Перевод в СИ

радиус Земли $R = 6370 \cdot 10^3$ м $= 6.37 \cdot 10^6$ м

широта города $\phi = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ радиан

период вращения Земли $T = 1$ сутки $= 24$ часа $= 24 \cdot 3600$ с $= 86400$ с

Найти:

длина пути $L$

Решение

Город, находящийся на определенной широте, вращается вокруг оси Земли по окружности, радиус которой меньше радиуса Земли. Радиус этой окружности ($r$) зависит от широты $\phi$ и радиуса Земли $R$ и определяется формулой:

$r = R \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения:

$r = 6370 \text{ км} \cdot \cos(60^\circ)$

Поскольку $\cos(60^\circ) = 0.5$:

$r = 6370 \text{ км} \cdot 0.5 = 3185 \text{ км}$

За одни сутки город совершает один полный оборот по этой окружности. Следовательно, длина пути, который совершает этот пункт за сутки, равна длине окружности радиусом $r$. Длина окружности вычисляется по формуле:

$L = 2 \pi r$

Подставим значение $r$:

$L = 2 \cdot \pi \cdot 3185 \text{ км}$

$L \approx 2 \cdot 3.14159265 \cdot 3185 \text{ км}$

$L \approx 20012.74 \text{ км}$

Требуется округлить ответ до десятков километров. Ближайшее число, кратное десяти, для $20012.74$ км - это $20010$ км.

$L \approx 20010 \text{ км}$

Ответ:

$20010$ км

400. Сфера проходит через вершины равнобедренного треугольника с основанием $6\sqrt{2}$ см и углом $45^\circ$ при вершине. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 8 см. Найдите радиус сферы.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $a = 6\sqrt{2}$ см.

Угол при вершине равнобедренного треугольника $\alpha = 45^\circ$.

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $h = 8$ см.

Перевод в СИ:

$a = 6\sqrt{2} \text{ см} = 0.06\sqrt{2} \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$ - ?

Решение:

Поскольку сфера проходит через все вершины равнобедренного треугольника, эти вершины лежат на некоторой окружности, которая является сечением сферы. Центр этой окружности лежит в плоскости треугольника и является проекцией центра сферы на эту плоскость. Радиус этой окружности ($r$) — это радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника.

Для нахождения радиуса описанной окружности $r$ вокруг треугольника используется формула, следующая из теоремы синусов: $r = \frac{x}{2\sin X}$, где $x$ — длина стороны треугольника, а $X$ — величина угла, противолежащего этой стороне.

В нашем равнобедренном треугольнике основание $a = 6\sqrt{2}$ см, а противолежащий ему угол при вершине $\alpha = 45^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:

$r = \frac{a}{2\sin\alpha}$

$r = \frac{6\sqrt{2}}{2\sin 45^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение:

$r = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$r = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$r = 6 \text{ см}$

Итак, радиус описанной окружности треугольника $r = 6$ см.

Теперь рассмотрим отношение между радиусом сферы ($R$), расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника ($h$) и радиусом описанной окружности треугольника ($r$). Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где радиус сферы $R$ является гипотенузой, а $h$ и $r$ — катетами. По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим найденное значение $r = 6$ см и данное значение $h = 8$ см:

$R^2 = 6^2 + 8^2$

$R^2 = 36 + 64$

$R^2 = 100$

$R = \sqrt{100}$

$R = 10 \text{ см}$

Ответ:

Радиус сферы равен $10$ см.

401. a) Сфера радиуса 10 см проходит через вершины $A, B, D$ параллелограмма $ABCD$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости параллелограмма, если $AD = BD = 10 \text{ см}$, $\angle BCD = 45^{\circ}$.

б) Сфера проходит через три вершины ромба со стороной 12 см и углом $60^{\circ}$. Найдите расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба, если радиус сферы 8 см.

a)

Дано:

Радиус сферы $R = 10 \text{ см}$.

Параллелограмм $ABCD$.

Вершины $A, B, D$ лежат на сфере.

$AD = 10 \text{ см}$.

$BD = 10 \text{ см}$.

$\angle BCD = 45^\circ$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в сантиметрах, что допустимо для геометрических задач без необходимости прямого перевода в метры для вычислений, если конечный ответ также требуется в сантиметрах.

Найти:

Расстояние от центра сферы до плоскости параллелограмма $h$.

Решение:

Пусть $O$ - центр сферы, а $O'$ - его проекция на плоскость параллелограмма $ABCD$. Расстояние $h = OO'$. Так как вершины $A, B, D$ лежат на сфере, $OA = OB = OD = R$. Это означает, что $O'$ является центром описанной окружности треугольника $ABD$, а $R$ - радиусом сферы. Радиус описанной окружности треугольника $ABD$ обозначим как $r_{ABD}$. Тогда из прямоугольного треугольника $OO'A$ (или $OO'B$, $OO'D$) следует, что $h^2 + r_{ABD}^2 = R^2$.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, $AD = BC$ и $AB = CD$.

Из условия дано $AD = 10 \text{ см}$, следовательно $BC = 10 \text{ см}$.

Также дано $BD = 10 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. В этом треугольнике $BC = 10 \text{ см}$, $BD = 10 \text{ см}$, $\angle BCD = 45^\circ$. Поскольку две стороны $BC$ и $BD$ равны, треугольник $BCD$ является равнобедренным. Углы при основании $CD$ равны: $\angle BDC = \angle BCD = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $BCD$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle CBD = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BCD$ является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Найдем длину стороны $CD$ (которая также является $AB$) по теореме Пифагора:

$CD^2 = BC^2 + BD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.

$CD = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ см}$. Значит, $AB = 10\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Его стороны: $AD = 10 \text{ см}$, $BD = 10 \text{ см}$, $AB = 10\sqrt{2} \text{ см}$.

Проверим соотношение сторон: $AD^2 + BD^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$.

$AB^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200$.

Поскольку $AD^2 + BD^2 = AB^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным по обратной теореме Пифагора, с прямым углом при вершине $D$ ($\angle ADB = 90^\circ$).

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. Гипотенуза в $\triangle ABD$ - это $AB$.

$r_{ABD} = \frac{AB}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

Теперь мы можем найти расстояние $h$ от центра сферы до плоскости параллелограмма:

$h^2 = R^2 - r_{ABD}^2$

$h^2 = 10^2 - (5\sqrt{2})^2 = 100 - (25 \cdot 2) = 100 - 50 = 50$.

$h = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $5\sqrt{2} \text{ см}$

б)

Дано:

Ромб со стороной $a = 12 \text{ см}$.

Угол ромба $\alpha = 60^\circ$.

Сфера проходит через три вершины ромба.

Радиус сферы $R = 8 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в сантиметрах, что допустимо для геометрических задач без необходимости прямого перевода в метры для вычислений, если конечный ответ также требуется в сантиметрах.

Найти:

Расстояние от центра сферы до четвертой вершины ромба.

Решение:

Пусть ромб - $ABCD$. Так как одна из сторон равна $12 \text{ см}$, все стороны ромба равны $12 \text{ см}$.

Если один из углов ромба равен $60^\circ$, то смежный угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Пусть $\angle A = 60^\circ$. Тогда $\angle B = 120^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle D = 120^\circ$.

Сфера проходит через три вершины. Рассмотрим возможные комбинации вершин, через которые проходит сфера:

1. Сфера проходит через вершины $A, B, C$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB = BC = 12 \text{ см}$, $\angle B = 120^\circ$.

Найдем длину диагонали $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 144 + 144 - 288 \cdot (-\frac{1}{2}) = 288 + 144 = 432$.

$AC = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3} \text{ см}$.

Найдем радиус описанной окружности $r_{ABC}$ для треугольника $ABC$ по формуле $r = \frac{abc}{4K}$, где $a, b, c$ - стороны, $K$ - площадь.

Площадь $K = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$.

$r_{ABC} = \frac{12 \cdot 12 \cdot 12\sqrt{3}}{4 \cdot 36\sqrt{3}} = \frac{1728\sqrt{3}}{144\sqrt{3}} = 12 \text{ см}$.

Пусть $O$ - центр сферы. Его проекция $O'$ на плоскость ромба является центром описанной окружности $\triangle ABC$. Расстояние от $O$ до плоскости ромба равно $h$. Тогда $h^2 = R^2 - r_{ABC}^2$.

$h^2 = 8^2 - 12^2 = 64 - 144 = -80$.

Так как $h^2$ не может быть отрицательным, данный случай (прохождение сферы через $A, B, C$) невозможен, поскольку радиус сферы меньше радиуса описанной окружности.

2. Сфера проходит через вершины $A, B, D$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем $AB = AD = 12 \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$.

Так как треугольник равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, $BD = 12 \text{ см}$.

Радиус описанной окружности $r_{ABD}$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ равен $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$r_{ABD} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Проверим условие $R \ge r_{ABD}$: $8 \ge 4\sqrt{3}$. Возведем обе части в квадрат: $8^2 = 64$, $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $64 \ge 48$, данный случай возможен.

Пусть $O$ - центр сферы, $O'$ - его проекция на плоскость ромба (центр описанной окружности $\triangle ABD$). Расстояние $h = OO'$.

$h^2 = R^2 - r_{ABD}^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 48 = 16$.

$h = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь найдем расстояние от центра сферы $O$ до четвертой вершины ромба, которая является вершиной $C$.

Проекция $O'$ (центр описанной окружности $\triangle ABD$) совпадает с центроидом $\triangle ABD$ (так как он равносторонний).

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ под прямым углом и делятся пополам.

В $\triangle ABD$, $M$ является серединой $BD$. $AM$ - медиана и высота. Длина $AM = \sqrt{AB^2 - BM^2}$. Так как $BD=12$, $BM=BD/2 = 6 \text{ см}$.

$AM = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Центр $O'$ равностороннего треугольника $ABD$ лежит на медиане $AM$ и делит ее в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

$AO' = \frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$. (Это равно $r_{ABD}$, как и должно быть).

$O'M = \frac{1}{3} AM = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Вершина $C$ лежит на диагонали $AC$. $CM = AM = 6\sqrt{3} \text{ см}$.

Расстояние от $O'$ до $C$ в плоскости ромба равно $O'C = O'M + MC = 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем расстояние $OC$ от центра сферы до вершины $C$ с использованием $h$ (расстояние от $O$ до плоскости) и $O'C$ (расстояние в плоскости):

$OC^2 = h^2 + (O'C)^2$

$OC^2 = 4^2 + (8\sqrt{3})^2 = 16 + (64 \cdot 3) = 16 + 192 = 208$.

$OC = \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \text{ см}$.

Данный случай является единственно возможным.

Ответ: $4\sqrt{13} \text{ см}$

402. a) Центр шара радиуса $R$ лежит внутри прямого двугранного угла. Шар касается одной из граней этого угла, а диаметр сечения шара плоскостью второй грани $R$. Найдите расстояние от центра шара до ребра двугранного угла.

б) Найдите радиус сферы, касающейся граней двугранного угла, равного $120^\circ$, если ее центр удален от ребра этого двугранного угла на $b$ см.

a)

Дано:
Радиус шара: $R_ш$.
Двугранный угол: $90^\circ$.
Шар касается одной из граней двугранного угла.
Диаметр сечения шара плоскостью второй грани: $D_с = R_ш$.

Перевод в СИ:
Все величины даны в относительных единицах радиуса шара $R_ш$, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Расстояние $D$ от центра шара до ребра двугранного угла.

Решение:
Пусть $O$ - центр шара, а $R_ш$ - его радиус.
Пусть грани двугранного угла - $\alpha$ и $\beta$, а ребро - $L$.
По условию, шар касается одной из граней, например, грани $\alpha$. Это означает, что расстояние от центра шара $O$ до грани $\alpha$ равно радиусу шара: $d_\alpha = R_ш$.
Плоскость второй грани $\beta$ пересекает шар, образуя сечение. Диаметр этого сечения равен $R_ш$. Следовательно, радиус сечения $r_с = D_с / 2 = R_ш / 2$.
Расстояние $d_\beta$ от центра шара $O$ до плоскости сечения (грани $\beta$) связано с радиусом шара $R_ш$ и радиусом сечения $r_с$ теоремой Пифагора: $R_ш^2 = d_\beta^2 + r_с^2$.
Подставляем известные значения:
$R_ш^2 = d_\beta^2 + (R_ш/2)^2$
$R_ш^2 = d_\beta^2 + R_ш^2/4$
Выражаем $d_\beta^2$:
$d_\beta^2 = R_ш^2 - R_ш^2/4 = 4R_ш^2/4 - R_ш^2/4 = 3R_ш^2/4$
Находим $d_\beta$:
$d_\beta = \sqrt{3R_ш^2/4} = R_ш\sqrt{3}/2$.
Рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через центр шара $O$ и перпендикулярной ребру $L$. В этом сечении ребро $L$ представляет собой точку $P$ (вершину прямого угла), а грани $\alpha$ и $\beta$ - перпендикулярные прямые $L_\alpha$ и $L_\beta$, проходящие через $P$.
Расстояние от $O$ до $L_\alpha$ равно $d_\alpha = R_ш$.
Расстояние от $O$ до $L_\beta$ равно $d_\beta = R_ш\sqrt{3}/2$.
Искомое расстояние $D$ от центра шара $O$ до ребра $L$ (точки $P$) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат $d_\alpha$ и $d_\beta$.
По теореме Пифагора:
$D^2 = d_\alpha^2 + d_\beta^2$
$D^2 = R_ш^2 + (R_ш\sqrt{3}/2)^2$
$D^2 = R_ш^2 + 3R_ш^2/4$
$D^2 = 4R_ш^2/4 + 3R_ш^2/4 = 7R_ш^2/4$
$D = \sqrt{7R_ш^2/4} = R_ш\sqrt{7}/2$.

Ответ: $R_ш\sqrt{7}/2$.

б)

Дано:
Величина двугранного угла: $\phi = 120^\circ$.
Расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла: $b$ см.
Сфера касается граней двугранного угла.

Перевод в СИ:
Величина $b$ дана в сантиметрах, и если радиус также будет выражен в сантиметрах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Радиус сферы $R_c$.

Решение:
Пусть $R_c$ - искомый радиус сферы.
Пусть $O$ - центр сферы. Поскольку сфера касается обеих граней двугранного угла, расстояние от ее центра $O$ до каждой грани равно радиусу сферы $R_c$.
Рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через центр сферы $O$ и перпендикулярной ребру. В этом сечении ребро двугранного угла представлено точкой $P$ (вершиной угла), а грани - прямыми, образующими угол $120^\circ$.
Центр сферы $O$ находится в этой плоскости. Расстояние от $O$ до каждой из прямых (граней) равно $R_c$. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $120^\circ$.
Угол между биссектрисой и каждой гранью равен половине двугранного угла: $\phi/2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Пусть $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на одну из граней (прямую в сечении). Тогда $OM = R_c$.
Расстояние от центра сферы $O$ до ребра (точки $P$) дано как $b$. То есть $OP = b$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMP$, где $\angle OMP = 90^\circ$. Гипотенуза этого треугольника - $OP = b$, а катет - $OM = R_c$. Угол $\angle OPM$ (угол между гипотенузой $OP$ и катетом $PM$, который лежит на грани) равен $60^\circ$.
Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle OPM) = OM / OP$
$\sin(60^\circ) = R_c / b$
Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$.
Таким образом, выражаем $R_c$:
$R_c = b \sin(60^\circ) = b \sqrt{3}/2$.

Ответ: $b\sqrt{3}/2$ см.