Страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

385. a) Арбуз формы шара радиуса 16 см разделен сечением, проходящим через середину одного из его радиусов, перпендикулярным ему. Какова площадь этого сечения?

б) Дан шар радиуса 8 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом $60^\circ$ к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

a)

Дано:

Радиус шара $R = 16$ см.

Сечение проходит через середину радиуса, перпендикулярно ему.

В СИ:

$R = 16$ см $= 0.16$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{сечения}$

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $h$ от центра шара до плоскости сечения соотношением, следуюшим из теоремы Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$.

По условию, сечение проходит через середину радиуса и перпендикулярно ему. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости сечения равно половине радиуса шара:

$h = \frac{R}{2}$

Подставим заданный радиус шара $R = 16$ см:

$h = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8$ см.

Теперь найдем радиус сечения $r$ из формулы $r^2 = R^2 - h^2$:

$r^2 = (16 \text{ см})^2 - (8 \text{ см})^2$

$r^2 = 256 \text{ см}^2 - 64 \text{ см}^2$

$r^2 = 192 \text{ см}^2$

$r = \sqrt{192} \text{ см} = \sqrt{64 \cdot 3} \text{ см} = 8\sqrt{3}$ см.

Площадь сечения $S_{сечения}$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_{сечения} = \pi r^2$

$S_{сечения} = \pi (8\sqrt{3})^2 \text{ см}^2$

$S_{сечения} = \pi \cdot 64 \cdot 3 \text{ см}^2$

$S_{сечения} = 192\pi \text{ см}^2$

Ответ: $192\pi \text{ см}^2$

б)

Дано:

Радиус шара $R = 8$ см.

Плоскость проведена через конец радиуса под углом $\alpha = 60^\circ$ к нему.

В СИ:

$R = 8$ см $= 0.08$ м.

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.

Найти:

Площадь сечения шара $S_{сечения}$

Решение:

Сечение шара плоскостью является кругом. Пусть $O$ - центр шара, $A$ - конец радиуса, через который проходит плоскость. Расстояние $h$ от центра шара $O$ до плоскости сечения можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром шара, точкой $A$ на плоскости и проекцией центра шара на плоскость (которая является центром сечения $C$).

В этом прямоугольном треугольнике $OAC$ (прямой угол в точке $C$) гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$. Угол между радиусом $OA$ и плоскостью (то есть угол между $OA$ и $AC$, проекцией $OA$ на плоскость) равен $\alpha = 60^\circ$.

Расстояние $h = OC$ от центра шара до плоскости сечения:

$h = R \sin(\alpha)$

$h = 8 \text{ см} \cdot \sin(60^\circ)$

$h = 8 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус сечения $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $h$ по теореме Пифагора:

$r^2 = R^2 - h^2$

$r^2 = (8 \text{ см})^2 - (4\sqrt{3} \text{ см})^2$

$r^2 = 64 \text{ см}^2 - (16 \cdot 3) \text{ см}^2$

$r^2 = 64 \text{ см}^2 - 48 \text{ см}^2$

$r^2 = 16 \text{ см}^2$

$r = \sqrt{16} \text{ см} = 4$ см.

Также радиус сечения $r$ можно найти непосредственно как $r = R \cos(\alpha)$:

$r = 8 \text{ см} \cdot \cos(60^\circ) = 8 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Площадь сечения $S_{сечения}$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_{сечения} = \pi r^2$

$S_{сечения} = \pi (4 \text{ см})^2$

$S_{сечения} = 16\pi \text{ см}^2$

Ответ: $16\pi \text{ см}^2$

386. Сечение шара плоскостью удалено на 5 см от его центра. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в это сечение, если радиус шара равен 7 см.

Дано:

$h = 5 \text{ см}$ (расстояние от центра шара до плоскости сечения)

$R = 7 \text{ см}$ (радиус шара)

Перевод в СИ:

$h = 0.05 \text{ м}$

$R = 0.07 \text{ м}$

Найти:

$S_{\text{шестиугольника}}$ – площадь правильного шестиугольника, вписанного в сечение.

Решение:

сечение шара плоскостью является кругом. радиус этого круга ($r$), расстояние от центра шара до плоскости сечения ($h$) и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой. по теореме пифагора:

$R^2 = h^2 + r^2$

отсюда выразим радиус сечения $r$:

$r^2 = R^2 - h^2$

подставим численные значения:

$r^2 = (7 \text{ см})^2 - (5 \text{ см})^2$

$r^2 = 49 \text{ см}^2 - 25 \text{ см}^2$

$r^2 = 24 \text{ см}^2$

$r = \sqrt{24} \text{ см} = \sqrt{4 \cdot 6} \text{ см} = 2\sqrt{6} \text{ см}$

для правильного шестиугольника, вписанного в круг, длина стороны ($a$) равна радиусу этого круга. следовательно, сторона шестиугольника:

$a = r = 2\sqrt{6} \text{ см}$

площадь правильного шестиугольника ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

подставим значение стороны $a$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2\sqrt{6} \text{ см})^2$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(4 \cdot 6) \text{ см}^2$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(24) \text{ см}^2$

$S = 3\sqrt{3} \cdot 12 \text{ см}^2$

$S = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ:

площадь правильного шестиугольника, вписанного в это сечение, равна $36\sqrt{3} \text{ см}^2$.

387. Точка плоскости, касательной к сфере радиуса 5 см, удалена от точки касания на 12 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Дано:

Радиус сферы $R = 5$ см

Расстояние от точки на касательной плоскости до точки касания $AP_0 = 12$ см

Перевод в СИ:

$R = 5$ см $= 0.05$ м

$AP_0 = 12$ см $= 0.12$ м

Найти:

Расстояние от точки $A$ до ближайшей точки сферы $AP_c$

Решение:

Пусть $O$ – центр сферы, а $P_0$ – точка касания плоскости к сфере. Известно, что радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Таким образом, отрезок $OP_0$ перпендикулярен касательной плоскости.

Пусть $A$ – данная точка на касательной плоскости, удаленная от точки касания $P_0$ на 12 см. Треугольник $OAP_0$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_0$.

Длины сторон прямоугольного треугольника $OAP_0$ известны:

Катет $OP_0$ равен радиусу сферы: $OP_0 = R = 5$ см

Катет $AP_0$ равен расстоянию от точки $A$ до точки касания: $AP_0 = 12$ см

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $OA$, которая представляет собой расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$:

$OA^2 = OP_0^2 + AP_0^2$

$OA^2 = R^2 + AP_0^2$

$OA^2 = (5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$OA^2 = 25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$OA^2 = 169 \text{ см}^2$

$OA = \sqrt{169 \text{ см}^2} = 13$ см

Ближайшая точка сферы к точке $A$ лежит на прямой, соединяющей точку $A$ с центром сферы $O$. Пусть эта ближайшая точка сферы будет $P_c$. Расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на ее поверхности равно радиусу $R$. Следовательно, $OP_c = R = 5$ см.

Искомое расстояние от точки $A$ до ближайшей точки сферы $P_c$ равно разности расстояния от $A$ до центра сферы $O$ и радиуса сферы:

$AP_c = OA - OP_c$

$AP_c = 13 \text{ см} - 5 \text{ см}$

$AP_c = 8$ см

Ответ:

Расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы составляет 8 см.

388. Длина окружности колодца приближенно равна 3,5 м. Можно ли накрыть его крышей формы полусферы, высота которой 0,6 м?

Дано:

длина окружности колодца $C = 3.5 \text{ м}$

высота крыши в форме полусферы $H = 0.6 \text{ м}$

Найти:

можно ли накрыть колодец крышей?

Решение:

Для того чтобы крыша в форме полусферы накрыла колодец, диаметр основания полусферы должен быть не меньше диаметра колодца.

1. Найдем радиус полусферы. Высота полусферы равна ее радиусу: $R_{полусферы} = H = 0.6 \text{ м}$.

2. Найдем диаметр основания полусферы: $D_{полусферы} = 2 \times R_{полусферы} = 2 \times 0.6 = 1.2 \text{ м}$.

3. Найдем диаметр колодца. Длина окружности колодца выражается формулой $C = \pi d$, где $d$ - диаметр колодца. Отсюда, $d_{колодца} = \frac{C}{\pi}$. $d_{колодца} = \frac{3.5}{\pi} \text{ м}$.

Используя значение $\pi \approx 3.14159$, вычислим приближенное значение диаметра колодца: $d_{колодца} \approx \frac{3.5}{3.14159} \approx 1.11408 \text{ м}$.

4. Сравним диаметр колодца с диаметром основания полусферы: $D_{полусферы} = 1.2 \text{ м}$ $d_{колодца} \approx 1.11408 \text{ м}$

Так как $1.11408 \text{ м} < 1.2 \text{ м}$, то диаметр колодца меньше диаметра основания полусферы. Следовательно, крышей можно накрыть колодец.

Ответ:

Да, можно накрыть колодец крышей.

389. Составьте уравнение сферы радиуса 3 с центром в точке $A(2; -4; 7)$ и определите:

а) пересекает ли она координатные плоскости;

б) наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$.

Дано

центр сферы $A(a; b; c) = (2; -4; 7)$

радиус сферы $R = 3$

Найти:

уравнение сферы

а) пересекает ли сфера координатные плоскости

б) наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$

Решение

Общее уравнение сферы с центром в точке $(a, b, c)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

Подставим координаты центра $A(2; -4; 7)$ и радиус $R=3$ в это уравнение:

$(x-2)^2 + (y-(-4))^2 + (z-7)^2 = 3^2$

$(x-2)^2 + (y+4)^2 + (z-7)^2 = 9$

а) пересекает ли она координатные плоскости;

Сфера пересекает координатную плоскость, если расстояние от центра сферы до этой плоскости меньше или равно радиусу сферы. Расстояние от точки $(a, b, c)$ до плоскости $x=0$ (плоскость $yOz$) равно $|a|$, до плоскости $y=0$ (плоскость $xOz$) равно $|b|$, и до плоскости $z=0$ (плоскость $xOy$) равно $|c|$.

Радиус сферы $R=3$. Координаты центра $A(2; -4; 7)$.

1. Для плоскости $yOz$ ($x=0$):

Расстояние $d_x = |2| = 2$.

Сравниваем: $d_x = 2 < R = 3$. Так как $2 < 3$, сфера пересекает плоскость $yOz$.

2. Для плоскости $xOz$ ($y=0$):

Расстояние $d_y = |-4| = 4$.

Сравниваем: $d_y = 4 > R = 3$. Так как $4 > 3$, сфера не пересекает плоскость $xOz$.

3. Для плоскости $xOy$ ($z=0$):

Расстояние $d_z = |7| = 7$.

Сравниваем: $d_z = 7 > R = 3$. Так как $7 > 3$, сфера не пересекает плоскость $xOy$.

Ответ:

Сфера пересекает координатную плоскость $yOz$.

Сфера не пересекает координатные плоскости $xOz$ и $xOy$.

б) наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$.

Плоскость $xOy$ задается уравнением $z=0$.

Расстояние от центра сферы $A(2; -4; 7)$ до плоскости $xOy$ равно абсолютной величине $z$-координаты центра, то есть $d = |7| = 7$.

Радиус сферы $R = 3$.

Поскольку расстояние от центра до плоскости ($d=7$) больше радиуса сферы ($R=3$), сфера не пересекает плоскость $xOy$. В этом случае наименьшее расстояние от любой точки сферы до плоскости определяется как разность между расстоянием от центра сферы до плоскости и радиусом сферы.

$d_{min} = d - R = 7 - 3 = 4$.

Ответ:

Наименьшее расстояние от точек сферы до плоскости $xOy$ равно $4$.

390. Сфера задана уравнением $(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 9$. Установите, каково взаимное расположение этой сферы и плоскости:

а) $2x - 3y + 4z - 10 = 0$;

б) $2x + y - 2z - 6 = 0$;

в) $6x - 3y + 6z + 5 = 0$.

a)

Дано

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

Уравнение плоскости: $2x - 3y + 4z - 10 = 0$

Найти:

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Решение

Из уравнения сферы $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$ определяем координаты центра сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ и ее радиус $R$.

Центр сферы: $C(2, -1, 3)$.

Радиус сферы: $R^2 = 9 \implies R = 3$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для данной плоскости $2x - 3y + 4z - 10 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 2, B = -3, C = 4, D = -10$.

Расстояние $d$ от центра сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения:

$d = \frac{|2(2) + (-3)(-1) + 4(3) + (-10)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}$

$d = \frac{|4 + 3 + 12 - 10|}{\sqrt{4 + 9 + 16}}$

$d = \frac{|9|}{\sqrt{29}}$

$d = \frac{9}{\sqrt{29}}$

Приближенное значение $d \approx \frac{9}{5.385} \approx 1.671$.

Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R = 3$.

Так как $d \approx 1.671$ и $R = 3$, то $d < R$.

Это означает, что плоскость пересекает сферу.

Ответ: Плоскость пересекает сферу.

б)

Дано

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

Уравнение плоскости: $2x + y - 2z - 6 = 0$

Найти:

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Решение

Центр сферы: $C(2, -1, 3)$.

Радиус сферы: $R = 3$.

Для плоскости $2x + y - 2z - 6 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 2, B = 1, C = -2, D = -6$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы $C(2, -1, 3)$ до плоскости:

$d = \frac{|2(2) + 1(-1) + (-2)(3) + (-6)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|4 - 1 - 6 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$

$d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}}$

$d = \frac{9}{3}$

$d = 3$

Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R = 3$.

Так как $d = R = 3$.

Это означает, что плоскость касается сферы в одной точке (является касательной плоскостью).

Ответ: Плоскость касается сферы.

в)

Дано

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

Уравнение плоскости: $6x - 3y + 6z + 5 = 0$

Найти:

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Решение

Центр сферы: $C(2, -1, 3)$.

Радиус сферы: $R = 3$.

Для плоскости $6x - 3y + 6z + 5 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 6, B = -3, C = 6, D = 5$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы $C(2, -1, 3)$ до плоскости:

$d = \frac{|6(2) + (-3)(-1) + 6(3) + 5|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 6^2}}$

$d = \frac{|12 + 3 + 18 + 5|}{\sqrt{36 + 9 + 36}}$

$d = \frac{|38|}{\sqrt{81}}$

$d = \frac{38}{9}$

Приближенное значение $d \approx 4.222$.

Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R = 3$.

Так как $d \approx 4.222$ и $R = 3$, то $d > R$.

Это означает, что плоскость не пересекает сферу.

Ответ: Плоскость не пересекает сферу.

391. Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ в точке:

а) M(1; 2; 2);

б) N(1; -2; -2).

Дано:

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 9$

Это уравнение сферы с центром в начале координат $O(0; 0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Найти:

Уравнение касательной плоскости к сфере в заданной точке.

Решение:

Для сферы, центрированной в начале координат $(0, 0, 0)$, уравнение которой $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, уравнение касательной плоскости в точке касания $(x_0, y_0, z_0)$ на поверхности сферы определяется формулой:

$x_0 x + y_0 y + z_0 z = R^2$

В нашем случае $R^2 = 9$.

а) M(1; 2; 2)

Проверим, лежит ли точка $M(1; 2; 2)$ на сфере:

$1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$. Точка M лежит на сфере.

Используем координаты точки $M(1; 2; 2)$ как $(x_0; y_0; z_0)$:

$x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $z_0 = 2$.

Подставляем эти значения в формулу касательной плоскости:

$1 \cdot x + 2 \cdot y + 2 \cdot z = 9$

$x + 2y + 2z = 9$

Ответ: $x + 2y + 2z = 9$

б) N(1; -2; -2)

Проверим, лежит ли точка $N(1; -2; -2)$ на сфере:

$1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$. Точка N лежит на сфере.

Используем координаты точки $N(1; -2; -2)$ как $(x_0; y_0; z_0)$:

$x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $z_0 = -2$.

Подставляем эти значения в формулу касательной плоскости:

$1 \cdot x + (-2) \cdot y + (-2) \cdot z = 9$

$x - 2y - 2z = 9$

Ответ: $x - 2y - 2z = 9$

392. Сфера $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 169$ проходит через начало координат. Напишите уравнение касательной плоскости к этой сфере, проходящей через начало координат.

Дано:

Уравнение сферы: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 169$.

Сфера проходит через начало координат, что означает, что точка $P_0(0, 0, 0)$ лежит на сфере и является точкой касания для искомой плоскости.

В данной задаче отсутствуют физические величины, требующие перевода в систему СИ.

Найти:

Уравнение касательной плоскости к сфере, проходящей через начало координат.

Решение:

Общее уравнение сферы имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 169$ получаем:

Координаты центра сферы $C = (3, -4, 12)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 169$, следовательно, радиус $R = \sqrt{169} = 13$.

Точка касания $P_0$ — это начало координат $(0, 0, 0)$. Убедимся, что эта точка действительно лежит на сфере, подставив ее координаты в уравнение сферы:

$(0 - 3)^2 + (0 + 4)^2 + (0 - 12)^2 = (-3)^2 + (4)^2 + (-12)^2 = 9 + 16 + 144 = 25 + 144 = 169$.

Так как $169 = 169$, точка $(0, 0, 0)$ лежит на сфере.

Вектор нормали к касательной плоскости в точке $P_0$ на сфере является вектором, направленным из центра сферы $C$ к точке касания $P_0$.

Обозначим вектор нормали как $\vec{n} = \vec{CP_0}$.

$\vec{n} = (x_{P_0} - x_C, y_{P_0} - y_C, z_{P_0} - z_C)$

$\vec{n} = (0 - 3, 0 - (-4), 0 - 12) = (-3, 4, -12)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(A, B, C)$, имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

В нашем случае точка касания $P_0 = (0, 0, 0)$, а нормальный вектор $\vec{n} = (-3, 4, -12)$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$-3(x - 0) + 4(y - 0) + (-12)(z - 0) = 0$

$-3x + 4y - 12z = 0$.

Это и есть искомое уравнение касательной плоскости.

Ответ:

Уравнение касательной плоскости: $-3x + 4y - 12z = 0$.

393. Расстояния от концов диаметра шара до касающейся его плоскости равны 6 см и 4 см. Найдите радиус шара.

Дано:

Расстояние от одного конца диаметра шара до касающейся плоскости: $h_1 = 6 \text{ см}$

Расстояние от другого конца диаметра шара до касающейся плоскости: $h_2 = 4 \text{ см}$

Найти:

Радиус шара: $R$

Решение

Пусть $P$ — касающаяся плоскость, $T$ — точка касания шара с плоскостью $P$, и $O$ — центр шара.Радиус $OT$ перпендикулярен плоскости $P$, и его длина равна радиусу шара $R$.

Рассмотрим декартову систему координат, в которой плоскость $P$ совпадает с плоскостью $z=0$. Тогда точка касания $T$ может быть принята за начало координат $(0,0,0)$, а центр шара $O$ будет иметь координаты $(0,0,R)$.

Пусть $A$ и $B$ — концы диаметра шара. Поскольку вся сфера находится по одну сторону от касательной плоскости, то координаты $z$ для точек $A$ и $B$ будут положительными.Расстояние от точки до плоскости $z=0$ равно абсолютной величине её $z$-координаты.По условию, расстояния от $A$ и $B$ до плоскости $P$ равны $h_1 = 6 \text{ см}$ и $h_2 = 4 \text{ см}$.Следовательно, $z_A = 6$ и $z_B = 4$.

Так как $A$ и $B$ являются концами диаметра, центр шара $O$ является серединой отрезка $AB$.Если координаты $A$ равны $(x_A, y_A, z_A)$, а координаты $B$ равны $(x_B, y_B, z_B)$, то координаты центра $O$ определяются как:$O = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Мы знаем, что $O = (0,0,R)$. Сравнивая $z$-координаты, получаем:$$ \frac{z_A+z_B}{2} = R $$

Подставляя известные значения $z_A=6 \text{ см}$ и $z_B=4 \text{ см}$:$$ \frac{6+4}{2} = R $$$$ \frac{10}{2} = R $$$$ R = 5 \text{ см} $$

Данный подход верен, поскольку линии, по которым измеряются расстояния от концов диаметра до касательной плоскости, параллельны радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, проекция диаметра на ось, проходящую через центр шара перпендикулярно касательной плоскости, равна сумме расстояний от концов диаметра до этой плоскости.

Ответ:

Радиус шара равен $5 \text{ см}$.

394. Два шара, радиусы которых равны 16 см и 9 см, касаются в точке $C$ и имеют общую касательную $AB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Общая касательная $CM$ этих шаров пересекает прямую $AB$ в точке $M$ (рисунок 149). Найдите расстояние $CM$.

Рисунок 149

Дано:

Радиус первого шара (большего): $R_1 = 16 \text{ см}$

Радиус второго шара (меньшего): $R_2 = 9 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

$R_2 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Расстояние $CM$.

Решение:

Обозначим центры двух окружностей (шаров) как O (для большего радиуса $R_1$) и K (для меньшего радиуса $R_2$).

Определение длины общей внешней касательной AB:

Построим отрезок $KD$ параллельно $AB$, где точка $D$ лежит на радиусе $OA$. Поскольку $OA \perp AB$ и $KB \perp AB$, фигура $ADKB$ является прямоугольником. Тогда $AD = KB = R_2$, и $DK = AB$.

В прямоугольном треугольнике $ODK$ (где $OD = OA - AD = R_1 - R_2$) гипотенуза $OK$ является расстоянием между центрами окружностей. Так как окружности касаются внешним образом в точке $C$, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $OK = R_1 + R_2$.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику $ODK$:

$OK^2 = OD^2 + DK^2$

$(R_1 + R_2)^2 = (R_1 - R_2)^2 + AB^2$

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = (R_1 + R_2)^2 - (R_1 - R_2)^2$

Используем формулу разности квадратов: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$.

$AB^2 = 4R_1R_2$

$AB = \sqrt{4R_1R_2} = 2\sqrt{R_1R_2}$

Подставим заданные значения радиусов $R_1 = 16 \text{ см}$ и $R_2 = 9 \text{ см}$:

$AB = 2\sqrt{16 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}} = 2\sqrt{144 \text{ см}^2} = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

Свойства касательных из точки M:

Точка $M$ является точкой пересечения общей внешней касательной $AB$ и общей внутренней касательной $CM$.

Известно, что длины касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Для большей окружности (с центром O): $MA$ и $MC$ являются касательными, проведенными из точки $M$. Следовательно, $MA = MC$.

Для меньшей окружности (с центром K): $MB$ и $MC$ являются касательными, проведенными из точки $M$. Следовательно, $MB = MC$.

Из этих двух равенств следует, что $MA = MB = MC$.

Вычисление расстояния CM:

Так как $M$ лежит на отрезке $AB$ и $MA = MB$, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Поскольку $MA = MB = MC$, и $AB = MA + MB$, то $AB = 2 \cdot MC$.

Отсюда:

$CM = \frac{AB}{2}$

Подставим ранее найденное значение $AB = 24 \text{ см}$:

$CM = \frac{24 \text{ см}}{2} = 12 \text{ см}$.

Ответ: $12 \text{ см}$.