Страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

378. Какую высоту будет иметь ведро, если в заготовке для получения его боковой поверхности величины дуг равны по $60^\circ$, а их радиусы – $72 \text{ см}$ и $48 \text{ см}$? Ответ дайте с точностью до $0,1 \text{ см}$.

Дано:

Угол дуг $\alpha = 60^\circ$

Радиусы заготовки $L_1 = 72 \text{ см}$, $L_2 = 48 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$\alpha = 60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

$L_1 = 72 \text{ см} = 0.72 \text{ м}$

$L_2 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$

Найти:

Высота ведра $h$

Решение:

Боковая поверхность ведра представляет собой усеченный конус. Заготовка для его боковой поверхности является частью кольца (сектором кольца). Радиусы дуг заготовки ($L_1$ и $L_2$) являются образующими полного и усеченного конусов, соответственно. Угол дуг ($\alpha$) определяет длины окружностей оснований ведра.

1. Определение радиусов оснований ведра ($r_1, r_2$):

Длина большей дуги заготовки становится длиной окружности большего основания ведра. Длина меньшей дуги заготовки становится длиной окружности меньшего основания ведра. Формула длины дуги: $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$.

Для большего основания (радиус $r_1$):
Длина дуги $C_1 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi L_1 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (72 \text{ см}) = 24\pi \text{ см}$.
Эта длина равна $2\pi r_1$, где $r_1$ — радиус большего основания ведра.
$2\pi r_1 = 24\pi \text{ см} \implies r_1 = 12 \text{ см}$.

Для меньшего основания (радиус $r_2$):
Длина дуги $C_2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi L_2 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (48 \text{ см}) = 16\pi \text{ см}$.
Эта длина равна $2\pi r_2$, где $r_2$ — радиус меньшего основания ведра.
$2\pi r_2 = 16\pi \text{ см} \implies r_2 = 8 \text{ см}$.

2. Определение образующей ведра ($l$):

Образующая ведра является разницей между радиусами дуг заготовки.
$l = L_1 - L_2 = 72 \text{ см} - 48 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

3. Определение высоты ведра ($h$):

Высоту ведра можно найти по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой ведра, разностью радиусов оснований и образующей.
$h^2 + (r_1 - r_2)^2 = l^2$.
Отсюда $h = \sqrt{l^2 - (r_1 - r_2)^2}$.
Разность радиусов: $r_1 - r_2 = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Подставляем значения:
$h = \sqrt{(24 \text{ см})^2 - (4 \text{ см})^2}$.
$h = \sqrt{576 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2}$.
$h = \sqrt{560 \text{ см}^2}$.
$h \approx 23.664319 \text{ см}$.

4. Округление результата:

Требуется округлить ответ до 0.1 см.
$h \approx 23.7 \text{ см}$.

Ответ: $23.7 \text{ см}$.

379. Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми $90^{\circ}$, проведена плоскость, отсекающая от окружностей его оснований дуги в $120^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если отношение площадей его оснований равно $\frac{1}{4}$, а образующая $2\sqrt{6}$ см.

Дано:

• Усеченный конус.
• Плоскость проходит через две образующие, угол между которыми в полном конусе составляет $90^\circ$.
• Плоскость отсекает от окружностей оснований дуги в $120^\circ$.
• Отношение площадей его оснований равно $\frac{1}{4}$.
• Длина образующей усеченного конуса $L = 2\sqrt{6}$ см.

Перевод в СИ:

Все величины даны в сантиметрах, что соответствует системе СИ для длины. Перевод не требуется.

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $R$ – радиус большего основания, а $r$ – радиус меньшего основания усеченного конуса. Длина образующей усеченного конуса равна $L = 2\sqrt{6}$ см.

1. Определение соотношения радиусов оснований:

Из условия, что отношение площадей оснований равно $\frac{1}{4}$, имеем:

$\frac{S_r}{S_R} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} = \frac{1}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Отсюда $R = 2r$.

2. Использование данных о плоскости сечения:

Плоскость, проходящая через две образующие, образует в сечении равнобедренную трапецию. Эти образующие, если их продлить до вершины полного конуса $S$, образуют угол $90^\circ$. Пусть $L_{full}$ – длина образующей полного конуса до большего основания, а $L_{small\_cone}$ – длина образующей до меньшего основания.

Так как угол между двумя образующими в вершине $S$ равен $90^\circ$, то треугольник, образованный этими образующими и хордой, соединяющей их концы на основании, является равнобедренным прямоугольным треугольником. Поэтому длина хорды $c$ равна длине образующей, умноженной на $\sqrt{2}$.

С другой стороны, эта плоскость отсекает от окружностей оснований дуги в $120^\circ$. Длина хорды $c$ в окружности радиуса $X$, соответствующая центральному углу $\alpha$, определяется формулой $c = 2X \sin(\frac{\alpha}{2})$. В нашем случае $\alpha = 120^\circ$, так что $\sin(\frac{120^\circ}{2}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, для большего основания хорда $c_R = 2R \sin(60^\circ) = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

И для меньшего основания хорда $c_r = 2r \sin(60^\circ) = 2r \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$.

Приравниваем выражения для хорд:

Для большего основания: $L_{full}\sqrt{2} = R\sqrt{3} \implies L_{full} = R\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Для меньшего основания: $L_{small\_cone}\sqrt{2} = r\sqrt{3} \implies L_{small\_cone} = r\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Длина образующей усеченного конуса $L$ – это разность длин образующих полного и малого конусов:

$L = L_{full} - L_{small\_cone} = R\sqrt{\frac{3}{2}} - r\sqrt{\frac{3}{2}} = (R-r)\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Нам дано $L = 2\sqrt{6}$ см. Подставим это значение:

$2\sqrt{6} = (R-r)\sqrt{\frac{3}{2}}$

$(R-r) = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3/2}} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = 2\sqrt{\frac{12}{3}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, $R-r = 4$.

3. Расчет радиусов $R$ и $r$:

Имеем систему уравнений:

1) $R - r = 4$

2) $R = 2r$ (получено в п.1)

Подставим второе уравнение в первое:

$2r - r = 4$

$r = 4$ см.

Тогда $R = 2 \cdot 4 = 8$ см.

4. Расчет площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r) L$.

Подставим найденные значения $R$, $r$ и данное $L$:

$S_{бок} = \pi (8 + 4) (2\sqrt{6})$

$S_{бок} = \pi (12) (2\sqrt{6})$

$S_{бок} = 24\pi\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $24\pi\sqrt{6}$ см$^2$.

380. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны, высота равна 12 см, а образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом 60°.

Дано:

Высота усеченного конуса $H = 12 \text{ см}$

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Диагонали осевого сечения перпендикулярны

Перевод в СИ:

$H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{полн}$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Пусть $R$ - радиус нижнего основания, $r$ - радиус верхнего основания, а $L$ - образующая усеченного конуса.

Поскольку диагонали осевого сечения перпендикулярны, для равнобедренной трапеции выполняется свойство, что ее высота равна полусумме оснований. В нашем случае основания трапеции равны $2R$ и $2r$.

Следовательно, $H = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$.

Таким образом, $R + r = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $L$, высотой $H$ и отрезком, равным разности радиусов $R-r$. Угол между образующей $L$ и нижним основанием равен $60^\circ$.

Из этого треугольника:

$\sin \alpha = \frac{H}{L}$

$L = \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}$.

Также из этого треугольника:

$\cos \alpha = \frac{R-r}{L}$

$R-r = L \cos \alpha = 8\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь у нас есть система уравнений для $R$ и $r$:

1) $R + r = 12$

2) $R - r = 4\sqrt{3}$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(R+r) + (R-r) = 12 + 4\sqrt{3}$

$2R = 12 + 4\sqrt{3}$

$R = 6 + 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(R+r) - (R-r) = 12 - 4\sqrt{3}$

$2r = 12 - 4\sqrt{3}$

$r = 6 - 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{нижнего\;основания} + S_{верхнего\;основания} + S_{боковой\;поверхности}$

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)L$

$S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R+r)L)$

Вычислим $R^2$:

$R^2 = (6 + 2\sqrt{3})^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 24\sqrt{3} + 12 = 48 + 24\sqrt{3}$.

Вычислим $r^2$:

$r^2 = (6 - 2\sqrt{3})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 36 - 24\sqrt{3} + 12 = 48 - 24\sqrt{3}$.

Сумма площадей оснований:

$\pi R^2 + \pi r^2 = \pi (48 + 24\sqrt{3}) + \pi (48 - 24\sqrt{3}) = \pi (48 + 24\sqrt{3} + 48 - 24\sqrt{3}) = 96\pi$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{боковой} = \pi (R+r)L = \pi (12)(8\sqrt{3}) = 96\pi\sqrt{3}$.

Сложим все компоненты для нахождения полной площади поверхности:

$S_{полн} = 96\pi + 96\pi\sqrt{3} = 96\pi(1 + \sqrt{3})$.

Ответ:

Площадь полной поверхности усеченного конуса составляет $96\pi(1 + \sqrt{3}) \text{ см}^2$.

381. Площади нижнего, верхнего оснований и боковой поверхности усеченного конуса относятся как $4:3:2$ соответственно. Найдите угол наклона образующей к его нижнему основанию.

Дано:

Площади нижнего, верхнего оснований и боковой поверхности усеченного конуса относятся как $S_1 : S_2 : S_L = 4 : 3 : 2$, где $S_1$ - площадь нижнего основания, $S_2$ - площадь верхнего основания, $S_L$ - площадь боковой поверхности.

Найти:

Угол $\alpha$ наклона образующей к нижнему основанию.

Решение:

Пусть $R$ - радиус нижнего основания, $r$ - радиус верхнего основания, $l$ - длина образующей усеченного конуса.

Формулы для площадей:

$S_1 = \pi R^2$

$S_2 = \pi r^2$

$S_L = \pi (R+r)l$

Из данного отношения $S_1 : S_2 = 4 : 3$ получаем:

$\frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{4}{3}$

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{4}{3}$

$\frac{R}{r} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Отсюда $R = \frac{2}{\sqrt{3}}r$.

Из данного отношения $S_1 : S_L = 4 : 2 = 2$ получаем:

$\frac{\pi R^2}{\pi (R+r)l} = 2$

$\frac{R^2}{(R+r)l} = 2$

Подставим выражение для $R$ через $r$:

$\frac{(\frac{2}{\sqrt{3}}r)^2}{(\frac{2}{\sqrt{3}}r + r)l} = 2$

$\frac{\frac{4}{3}r^2}{r(\frac{2}{\sqrt{3}} + 1)l} = 2$

$\frac{\frac{4}{3}r}{(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}})l} = 2$

$\frac{4r}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})l} = 2$

$\frac{4\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})l} = 2$

Разделим обе части на 2:

$\frac{2\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})l} = 1$

$2\sqrt{3}r = 3(2+\sqrt{3})l$

Выразим длину образующей $l$:

$l = \frac{2\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})}$

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Если из верхнего основания опустить перпендикуляр на нижнее основание (высота усеченного конуса), то образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является образующая $l$, одним катетом - высота конуса $H$, а другим катетом - разность радиусов $R-r$. Угол наклона образующей к нижнему основанию, $\alpha$, является одним из острых углов этого треугольника. Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $R-r$.

Тогда $\cos \alpha = \frac{R-r}{l}$.

Найдем разность радиусов $R-r$:

$R-r = \frac{2}{\sqrt{3}}r - r = r\left(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1\right) = r\left(\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$

Теперь подставим выражения для $R-r$ и $l$ в формулу для $\cos \alpha$:

$\cos \alpha = \frac{r\left(\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})}}$

$\cos \alpha = \frac{r(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3(2+\sqrt{3})}{2\sqrt{3}r}$

Сократим $r$:

$\cos \alpha = \frac{(2-\sqrt{3}) \cdot 3(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}$

$\cos \alpha = \frac{3(2^2 - (\sqrt{3})^2)}{2 \cdot (\sqrt{3})^2}$

$\cos \alpha = \frac{3(4-3)}{2 \cdot 3}$

$\cos \alpha = \frac{3 \cdot 1}{6}$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

Так как $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то угол $\alpha = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).

Ответ:

Угол наклона образующей к его нижнему основанию равен $60^\circ$.

382. Какую высоту будет иметь ведро, если в заготовке для получения его боковой поверхности величины дуг равны по $72^\circ$, а их радиусы – $92$ см и $65$ см? Достаточно ли листа жести размером $105 \times 30$ см для его изготовления?

Дано:

Радиус большей дуги заготовки: $R = 92 \text{ см}$

Радиус меньшей дуги заготовки: $r = 65 \text{ см}$

Угол дуг заготовки: $\alpha = 72^\circ$

Размеры листа жести: $L_{\text{sheet}} = 105 \text{ см}$, $W_{\text{sheet}} = 30 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 92 \text{ см} = 0.92 \text{ м}$

$r = 65 \text{ см} = 0.65 \text{ м}$

$L_{\text{sheet}} = 105 \text{ см} = 1.05 \text{ м}$

$W_{\text{sheet}} = 30 \text{ см} = 0.30 \text{ м}$

$\alpha = 72^\circ = 72 \times \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{5} \text{ рад}$

Найти:

1. Высоту ведра $h$.

2. Достаточно ли листа жести для его изготовления.

Решение:

1. Какую высоту будет иметь ведро?

Боковая поверхность ведра представляет собой сектор кольца, вырезанный из листа жести. Радиусы этого сектора ($R$ и $r$) соответствуют образующим конусов, из которых образуется усеченный конус (ведро). Длина образующей усеченного конуса (ведра) $l$ равна разности радиусов дуг заготовки: $l = R - r$ $l = 92 \text{ см} - 65 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Длина большей дуги заготовки станет длиной окружности нижнего основания ведра ($C_1$), а длина меньшей дуги — длиной окружности верхнего основания ведра ($C_2$). Формула длины дуги сектора с радиусом $S$ и углом $\alpha$ (в градусах): $L = 2\pi S \frac{\alpha}{360^\circ}$.

Радиус нижнего основания ведра $R_1$: $2\pi R_1 = 2\pi R \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_1 = R \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_1 = 92 \text{ см} \times \frac{72^\circ}{360^\circ} = 92 \text{ см} \times \frac{1}{5} = 18.4 \text{ см}$

Радиус верхнего основания ведра $R_2$: $2\pi R_2 = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_2 = r \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_2 = 65 \text{ см} \times \frac{72^\circ}{360^\circ} = 65 \text{ см} \times \frac{1}{5} = 13 \text{ см}$

Высота усеченного конуса (ведра) $h$ может быть найдена по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$ и образующей $l$: $h^2 + (R_1 - R_2)^2 = l^2$ $h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Вычислим разность радиусов оснований: $R_1 - R_2 = 18.4 \text{ см} - 13 \text{ см} = 5.4 \text{ см}$

Теперь вычислим высоту $h$: $h = \sqrt{(27 \text{ см})^2 - (5.4 \text{ см})^2}$ $h = \sqrt{729 \text{ см}^2 - 29.16 \text{ см}^2}$ $h = \sqrt{699.84 \text{ см}^2}$ $h \approx 26.45 \text{ см}$

Ответ: $26.45 \text{ см}$

2. Достаточно ли листа жести размером 105 × 30 см для его изготовления?

Для того чтобы определить, достаточно ли листа жести, необходимо сравнить размеры заготовки с размерами листа. Заготовка для боковой поверхности ведра представляет собой сектор кольца.

Максимальный размер заготовки вдоль радиального направления (высота сектора) равен разности радиусов: $R - r = 92 \text{ см} - 65 \text{ см} = 27 \text{ см}$. Этот размер (27 см) меньше, чем 30 см, поэтому он может уместиться по одной из сторон листа.

Однако, необходимо также учесть максимальный размер заготовки в перпендикулярном радиальному направлению. Это расстояние соответствует длине хорды, соединяющей крайние точки большей дуги сектора. Длина хорды $c$ для дуги радиуса $S$ и центрального угла $\alpha$ вычисляется по формуле $c = 2S \sin(\alpha/2)$. Для большей дуги ($S=R=92 \text{ см}$) и угла $\alpha = 72^\circ$: $c = 2 \times 92 \text{ см} \times \sin(72^\circ/2)$ $c = 184 \text{ см} \times \sin(36^\circ)$ Используя значение $\sin(36^\circ) \approx 0.587785$: $c \approx 184 \text{ см} \times 0.587785 \approx 108.152 \text{ см}$

Размеры листа жести: $105 \times 30 \text{ см}$. Максимальный размер заготовки (длина хорды) составляет приблизительно $108.15 \text{ см}$. Этот размер должен поместиться в одну из сторон листа ($105 \text{ см}$ или $30 \text{ см}$). Так как $108.15 \text{ см} > 105 \text{ см}$, заготовка не помещается на листе жести, потому что ее максимальный размер превышает наибольший размер листа.

Ответ: Листа жести размером $105 \times 30 \text{ см}$ недостаточно для изготовления ведра.