Номер 381, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

17. Площадь поверхности усеченного конуса. III. Тела вращения и их элементы - номер 381, страница 116.

Условие.

381. Площади нижнего, верхнего оснований и боковой поверхности усеченного конуса относятся как $4:3:2$ соответственно. Найдите угол наклона образующей к его нижнему основанию.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Площади нижнего, верхнего оснований и боковой поверхности усеченного конуса относятся как $S_1 : S_2 : S_L = 4 : 3 : 2$, где $S_1$ - площадь нижнего основания, $S_2$ - площадь верхнего основания, $S_L$ - площадь боковой поверхности.

Найти:

Угол $\alpha$ наклона образующей к нижнему основанию.

Решение:

Пусть $R$ - радиус нижнего основания, $r$ - радиус верхнего основания, $l$ - длина образующей усеченного конуса.

Формулы для площадей:

$S_1 = \pi R^2$

$S_2 = \pi r^2$

$S_L = \pi (R+r)l$

Из данного отношения $S_1 : S_2 = 4 : 3$ получаем:

$\frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{4}{3}$

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{4}{3}$

$\frac{R}{r} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Отсюда $R = \frac{2}{\sqrt{3}}r$.

Из данного отношения $S_1 : S_L = 4 : 2 = 2$ получаем:

$\frac{\pi R^2}{\pi (R+r)l} = 2$

$\frac{R^2}{(R+r)l} = 2$

Подставим выражение для $R$ через $r$:

$\frac{(\frac{2}{\sqrt{3}}r)^2}{(\frac{2}{\sqrt{3}}r + r)l} = 2$

$\frac{\frac{4}{3}r^2}{r(\frac{2}{\sqrt{3}} + 1)l} = 2$

$\frac{\frac{4}{3}r}{(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}})l} = 2$

$\frac{4r}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})l} = 2$

$\frac{4\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})l} = 2$

Разделим обе части на 2:

$\frac{2\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})l} = 1$

$2\sqrt{3}r = 3(2+\sqrt{3})l$

Выразим длину образующей $l$:

$l = \frac{2\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})}$

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Если из верхнего основания опустить перпендикуляр на нижнее основание (высота усеченного конуса), то образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является образующая $l$, одним катетом - высота конуса $H$, а другим катетом - разность радиусов $R-r$. Угол наклона образующей к нижнему основанию, $\alpha$, является одним из острых углов этого треугольника. Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $R-r$.

Тогда $\cos \alpha = \frac{R-r}{l}$.

Найдем разность радиусов $R-r$:

$R-r = \frac{2}{\sqrt{3}}r - r = r\left(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1\right) = r\left(\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$

Теперь подставим выражения для $R-r$ и $l$ в формулу для $\cos \alpha$:

$\cos \alpha = \frac{r\left(\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2\sqrt{3}r}{3(2+\sqrt{3})}}$

$\cos \alpha = \frac{r(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3(2+\sqrt{3})}{2\sqrt{3}r}$

Сократим $r$:

$\cos \alpha = \frac{(2-\sqrt{3}) \cdot 3(2+\sqrt{3})}{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}}$

$\cos \alpha = \frac{3(2^2 - (\sqrt{3})^2)}{2 \cdot (\sqrt{3})^2}$

$\cos \alpha = \frac{3(4-3)}{2 \cdot 3}$

$\cos \alpha = \frac{3 \cdot 1}{6}$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

Так как $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то угол $\alpha = 60^\circ$ (или $\frac{\pi}{3}$ радиан).

Ответ:

Угол наклона образующей к его нижнему основанию равен $60^\circ$.