Номер 375, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

17. Площадь поверхности усеченного конуса. III. Тела вращения и их элементы - номер 375, страница 115.

Условие.

375. Существует ли усеченный конус, площадь боковой поверхности которого равна сумме площадей его оснований?

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

Радиусы оснований усеченного конуса: $R$ (больший радиус), $r$ (меньший радиус), где $R > r > 0$.

Образующая усеченного конуса: $L$.

Условие: Площадь боковой поверхности усеченного конуса $A_{бок}$ равна сумме площадей его оснований $A_{осн1} + A_{осн2}$.

Найти:

Существует ли такой усеченный конус?

Решение

1. Запишем формулы для площадей:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса выражается как: $A_{бок} = \pi (R + r) L$.

Площадь большего основания: $A_{осн1} = \pi R^2$.

Площадь меньшего основания: $A_{осн2} = \pi r^2$.

2. Согласно условию задачи, $A_{бок} = A_{осн1} + A_{осн2}$. Подставим в это уравнение формулы площадей:

$\pi (R + r) L = \pi R^2 + \pi r^2$

3. Разделим обе части уравнения на $\pi$ (поскольку $\pi \neq 0$):

$(R + r) L = R^2 + r^2$

4. Выразим образующую $L$ из этого равенства:

$L = \frac{R^2 + r^2}{R + r}$

5. Для того чтобы усеченный конус существовал, его образующая $L$ должна удовлетворять геометрическому условию: образующая должна быть строго больше разности радиусов оснований. Это следует из того, что образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота усеченного конуса и разность радиусов ($R-r$). Следовательно, образующая всегда больше каждого из катетов. То есть, должно выполняться неравенство: $L > R - r$.

6. Подставим полученное выражение для $L$ в это неравенство:

$\frac{R^2 + r^2}{R + r} > R - r$

7. Умножим обе части неравенства на $(R + r)$. Так как $R > r > 0$, то $R + r$ всегда положительно, и знак неравенства не меняется:

$R^2 + r^2 > (R - r)(R + r)$

8. Применим формулу разности квадратов $(R - r)(R + r) = R^2 - r^2$:

$R^2 + r^2 > R^2 - r^2$

9. Вычтем $R^2$ из обеих частей неравенства:

$r^2 > -r^2$

10. Прибавим $r^2$ к обеим частям неравенства:

$2r^2 > 0$

11. Поскольку $r$ является радиусом, по определению $r > 0$. Следовательно, $r^2 > 0$, и произведение $2r^2$ всегда будет строго положительным числом. Таким образом, неравенство $2r^2 > 0$ всегда выполняется для любых положительных радиусов $r$.

Это означает, что для любых допустимых значений радиусов $R$ и $r$ ($R > r > 0$) всегда найдется положительная образующая $L = \frac{R^2 + r^2}{R + r}$, которая удовлетворяет всем геометрическим условиям существования усеченного конуса.

Ответ: Да.