Номер 380, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

380. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если диагонали его осевого сечения перпендикулярны, высота равна 12 см, а образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом 60°.

Дано:

Высота усеченного конуса $H = 12 \text{ см}$

Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания $\alpha = 60^\circ$

Диагонали осевого сечения перпендикулярны

Перевод в СИ:

$H = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности усеченного конуса $S_{полн}$

Решение:

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Пусть $R$ - радиус нижнего основания, $r$ - радиус верхнего основания, а $L$ - образующая усеченного конуса.

Поскольку диагонали осевого сечения перпендикулярны, для равнобедренной трапеции выполняется свойство, что ее высота равна полусумме оснований. В нашем случае основания трапеции равны $2R$ и $2r$.

Следовательно, $H = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$.

Таким образом, $R + r = 12 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей $L$, высотой $H$ и отрезком, равным разности радиусов $R-r$. Угол между образующей $L$ и нижним основанием равен $60^\circ$.

Из этого треугольника:

$\sin \alpha = \frac{H}{L}$

$L = \frac{H}{\sin \alpha} = \frac{12}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ см}$.

Также из этого треугольника:

$\cos \alpha = \frac{R-r}{L}$

$R-r = L \cos \alpha = 8\sqrt{3} \cdot \cos 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь у нас есть система уравнений для $R$ и $r$:

1) $R + r = 12$

2) $R - r = 4\sqrt{3}$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(R+r) + (R-r) = 12 + 4\sqrt{3}$

$2R = 12 + 4\sqrt{3}$

$R = 6 + 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(R+r) - (R-r) = 12 - 4\sqrt{3}$

$2r = 12 - 4\sqrt{3}$

$r = 6 - 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь полной поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{нижнего\;основания} + S_{верхнего\;основания} + S_{боковой\;поверхности}$

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi (R+r)L$

$S_{полн} = \pi (R^2 + r^2 + (R+r)L)$

Вычислим $R^2$:

$R^2 = (6 + 2\sqrt{3})^2 = 6^2 + 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 36 + 24\sqrt{3} + 12 = 48 + 24\sqrt{3}$.

Вычислим $r^2$:

$r^2 = (6 - 2\sqrt{3})^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 36 - 24\sqrt{3} + 12 = 48 - 24\sqrt{3}$.

Сумма площадей оснований:

$\pi R^2 + \pi r^2 = \pi (48 + 24\sqrt{3}) + \pi (48 - 24\sqrt{3}) = \pi (48 + 24\sqrt{3} + 48 - 24\sqrt{3}) = 96\pi$.

Площадь боковой поверхности:

$S_{боковой} = \pi (R+r)L = \pi (12)(8\sqrt{3}) = 96\pi\sqrt{3}$.

Сложим все компоненты для нахождения полной площади поверхности:

$S_{полн} = 96\pi + 96\pi\sqrt{3} = 96\pi(1 + \sqrt{3})$.

Ответ:

Площадь полной поверхности усеченного конуса составляет $96\pi(1 + \sqrt{3}) \text{ см}^2$.