Номер 379, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

17. Площадь поверхности усеченного конуса. III. Тела вращения и их элементы - номер 379, страница 116.

Условие.

379. Через две образующие усеченного конуса, угол между которыми $90^{\circ}$, проведена плоскость, отсекающая от окружностей его оснований дуги в $120^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если отношение площадей его оснований равно $\frac{1}{4}$, а образующая $2\sqrt{6}$ см.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

• Усеченный конус.
• Плоскость проходит через две образующие, угол между которыми в полном конусе составляет $90^\circ$.
• Плоскость отсекает от окружностей оснований дуги в $120^\circ$.
• Отношение площадей его оснований равно $\frac{1}{4}$.
• Длина образующей усеченного конуса $L = 2\sqrt{6}$ см.

Перевод в СИ:

Все величины даны в сантиметрах, что соответствует системе СИ для длины. Перевод не требуется.

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$.

Решение:

Пусть $R$ – радиус большего основания, а $r$ – радиус меньшего основания усеченного конуса. Длина образующей усеченного конуса равна $L = 2\sqrt{6}$ см.

1. Определение соотношения радиусов оснований:

Из условия, что отношение площадей оснований равно $\frac{1}{4}$, имеем:

$\frac{S_r}{S_R} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{r^2}{R^2} = \frac{1}{4}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$\frac{r}{R} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Отсюда $R = 2r$.

2. Использование данных о плоскости сечения:

Плоскость, проходящая через две образующие, образует в сечении равнобедренную трапецию. Эти образующие, если их продлить до вершины полного конуса $S$, образуют угол $90^\circ$. Пусть $L_{full}$ – длина образующей полного конуса до большего основания, а $L_{small\_cone}$ – длина образующей до меньшего основания.

Так как угол между двумя образующими в вершине $S$ равен $90^\circ$, то треугольник, образованный этими образующими и хордой, соединяющей их концы на основании, является равнобедренным прямоугольным треугольником. Поэтому длина хорды $c$ равна длине образующей, умноженной на $\sqrt{2}$.

С другой стороны, эта плоскость отсекает от окружностей оснований дуги в $120^\circ$. Длина хорды $c$ в окружности радиуса $X$, соответствующая центральному углу $\alpha$, определяется формулой $c = 2X \sin(\frac{\alpha}{2})$. В нашем случае $\alpha = 120^\circ$, так что $\sin(\frac{120^\circ}{2}) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, для большего основания хорда $c_R = 2R \sin(60^\circ) = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

И для меньшего основания хорда $c_r = 2r \sin(60^\circ) = 2r \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3}$.

Приравниваем выражения для хорд:

Для большего основания: $L_{full}\sqrt{2} = R\sqrt{3} \implies L_{full} = R\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Для меньшего основания: $L_{small\_cone}\sqrt{2} = r\sqrt{3} \implies L_{small\_cone} = r\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Длина образующей усеченного конуса $L$ – это разность длин образующих полного и малого конусов:

$L = L_{full} - L_{small\_cone} = R\sqrt{\frac{3}{2}} - r\sqrt{\frac{3}{2}} = (R-r)\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Нам дано $L = 2\sqrt{6}$ см. Подставим это значение:

$2\sqrt{6} = (R-r)\sqrt{\frac{3}{2}}$

$(R-r) = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3/2}} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{6 \cdot 2}{3}} = 2\sqrt{\frac{12}{3}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, $R-r = 4$.

3. Расчет радиусов $R$ и $r$:

Имеем систему уравнений:

1) $R - r = 4$

2) $R = 2r$ (получено в п.1)

Подставим второе уравнение в первое:

$2r - r = 4$

$r = 4$ см.

Тогда $R = 2 \cdot 4 = 8$ см.

4. Расчет площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi (R + r) L$.

Подставим найденные значения $R$, $r$ и данное $L$:

$S_{бок} = \pi (8 + 4) (2\sqrt{6})$

$S_{бок} = \pi (12) (2\sqrt{6})$

$S_{бок} = 24\pi\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $24\pi\sqrt{6}$ см$^2$.