Номер 384, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

384. а) Площадь сечения шара плоскостью равна $36\pi \text{ см}^2$. Найдите расстояние от секущей плоскости до центра шара, если радиус шара равен $10\text{ см}$.

б) Площадь сечения шара плоскостью в 4 раза меньше площади его большого круга. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если радиус сечения равен $2\text{ см}$.

а) Площадь сечения шара плоскостью равна 36π см². Найдите расстояние от секущей плоскости до центра шара, если радиус шара равен 10 см.

Дано:

$S_{сеч} = 36\pi \text{ см}^2$

$R = 10 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$S_{сеч} = 36\pi \cdot (10^{-2})^2 \text{ м}^2 = 36\pi \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$R = 10 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$h$

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. В данном случае $r$ – это радиус сечения, обозначим его $r_{сеч}$.

1. Найдем радиус сечения $r_{сеч}$ из известной площади сечения:

$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$

$36\pi = \pi r_{сеч}^2$

$r_{сеч}^2 = \frac{36\pi}{\pi}$

$r_{сеч}^2 = 36$

$r_{сеч} = \sqrt{36}$

$r_{сеч} = 6 \text{ см}$

2. Расстояние $h$ от центра шара до секущей плоскости, радиус сечения $r_{сеч}$ и радиус шара $R$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r_{сеч}^2 + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = R^2 - r_{сеч}^2$

Подставим известные значения $R = 10 \text{ см}$ и $r_{сеч} = 6 \text{ см}$:

$h^2 = 10^2 - 6^2$

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

$h = \sqrt{64}$

$h = 8 \text{ см}$

Ответ: $8 \text{ см}$

б) Площадь сечения шара плоскостью в 4 раза меньше площади его большого круга. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если радиус сечения равен 2 см.

Дано:

$S_{сеч} = \frac{1}{4} S_{б.к.}$

$r_{сеч} = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$r_{сеч} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$h$

Решение:

1. Найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Сечение шара представляет собой круг, и его площадь вычисляется по формуле $S = \pi r^2$:

$S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2$

$S_{сеч} = \pi (2)^2$

$S_{сеч} = 4\pi \text{ см}^2$

2. Большой круг шара – это сечение, проходящее через центр шара, его радиус равен радиусу шара $R$. Площадь большого круга $S_{б.к.} = \pi R^2$.

По условию, площадь сечения в 4 раза меньше площади большого круга:

$S_{сеч} = \frac{1}{4} S_{б.к.}$

Подставим известные значения:

$4\pi = \frac{1}{4} S_{б.к.}$

Отсюда найдем площадь большого круга:

$S_{б.к.} = 4 \cdot 4\pi$

$S_{б.к.} = 16\pi \text{ см}^2$

3. Используя площадь большого круга, найдем радиус шара $R$:

$S_{б.к.} = \pi R^2$

$16\pi = \pi R^2$

$R^2 = \frac{16\pi}{\pi}$

$R^2 = 16$

$R = \sqrt{16}$

$R = 4 \text{ см}$

4. Расстояние $h$ от центра шара до секущей плоскости, радиус сечения $r_{сеч}$ и радиус шара $R$ образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r_{сеч}^2 + h^2$

Выразим $h^2$:

$h^2 = R^2 - r_{сеч}^2$

Подставим найденные значения $R = 4 \text{ см}$ и $r_{сеч} = 2 \text{ см}$:

$h^2 = 4^2 - 2^2$

$h^2 = 16 - 4$

$h^2 = 12$

$h = \sqrt{12}$

$h = \sqrt{4 \cdot 3}$

$h = 2\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ см}$