Номер 387, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

387. Точка плоскости, касательной к сфере радиуса 5 см, удалена от точки касания на 12 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Дано:

Радиус сферы $R = 5$ см

Расстояние от точки на касательной плоскости до точки касания $AP_0 = 12$ см

Перевод в СИ:

$R = 5$ см $= 0.05$ м

$AP_0 = 12$ см $= 0.12$ м

Найти:

Расстояние от точки $A$ до ближайшей точки сферы $AP_c$

Решение:

Пусть $O$ – центр сферы, а $P_0$ – точка касания плоскости к сфере. Известно, что радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. Таким образом, отрезок $OP_0$ перпендикулярен касательной плоскости.

Пусть $A$ – данная точка на касательной плоскости, удаленная от точки касания $P_0$ на 12 см. Треугольник $OAP_0$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P_0$.

Длины сторон прямоугольного треугольника $OAP_0$ известны:

Катет $OP_0$ равен радиусу сферы: $OP_0 = R = 5$ см

Катет $AP_0$ равен расстоянию от точки $A$ до точки касания: $AP_0 = 12$ см

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $OA$, которая представляет собой расстояние от точки $A$ до центра сферы $O$:

$OA^2 = OP_0^2 + AP_0^2$

$OA^2 = R^2 + AP_0^2$

$OA^2 = (5 \text{ см})^2 + (12 \text{ см})^2$

$OA^2 = 25 \text{ см}^2 + 144 \text{ см}^2$

$OA^2 = 169 \text{ см}^2$

$OA = \sqrt{169 \text{ см}^2} = 13$ см

Ближайшая точка сферы к точке $A$ лежит на прямой, соединяющей точку $A$ с центром сферы $O$. Пусть эта ближайшая точка сферы будет $P_c$. Расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на ее поверхности равно радиусу $R$. Следовательно, $OP_c = R = 5$ см.

Искомое расстояние от точки $A$ до ближайшей точки сферы $P_c$ равно разности расстояния от $A$ до центра сферы $O$ и радиуса сферы:

$AP_c = OA - OP_c$

$AP_c = 13 \text{ см} - 5 \text{ см}$

$AP_c = 8$ см

Ответ:

Расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы составляет 8 см.