Номер 385, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

385. a) Арбуз формы шара радиуса 16 см разделен сечением, проходящим через середину одного из его радиусов, перпендикулярным ему. Какова площадь этого сечения?

б) Дан шар радиуса 8 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом $60^\circ$ к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

a)

Дано:

Радиус шара $R = 16$ см.

Сечение проходит через середину радиуса, перпендикулярно ему.

В СИ:

$R = 16$ см $= 0.16$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{сечения}$

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус этого круга $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $h$ от центра шара до плоскости сечения соотношением, следуюшим из теоремы Пифагора: $R^2 = h^2 + r^2$.

По условию, сечение проходит через середину радиуса и перпендикулярно ему. Это означает, что расстояние от центра шара до плоскости сечения равно половине радиуса шара:

$h = \frac{R}{2}$

Подставим заданный радиус шара $R = 16$ см:

$h = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8$ см.

Теперь найдем радиус сечения $r$ из формулы $r^2 = R^2 - h^2$:

$r^2 = (16 \text{ см})^2 - (8 \text{ см})^2$

$r^2 = 256 \text{ см}^2 - 64 \text{ см}^2$

$r^2 = 192 \text{ см}^2$

$r = \sqrt{192} \text{ см} = \sqrt{64 \cdot 3} \text{ см} = 8\sqrt{3}$ см.

Площадь сечения $S_{сечения}$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_{сечения} = \pi r^2$

$S_{сечения} = \pi (8\sqrt{3})^2 \text{ см}^2$

$S_{сечения} = \pi \cdot 64 \cdot 3 \text{ см}^2$

$S_{сечения} = 192\pi \text{ см}^2$

Ответ: $192\pi \text{ см}^2$

б)

Дано:

Радиус шара $R = 8$ см.

Плоскость проведена через конец радиуса под углом $\alpha = 60^\circ$ к нему.

В СИ:

$R = 8$ см $= 0.08$ м.

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ рад.

Найти:

Площадь сечения шара $S_{сечения}$

Решение:

Сечение шара плоскостью является кругом. Пусть $O$ - центр шара, $A$ - конец радиуса, через который проходит плоскость. Расстояние $h$ от центра шара $O$ до плоскости сечения можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром шара, точкой $A$ на плоскости и проекцией центра шара на плоскость (которая является центром сечения $C$).

В этом прямоугольном треугольнике $OAC$ (прямой угол в точке $C$) гипотенуза $OA$ равна радиусу шара $R$. Угол между радиусом $OA$ и плоскостью (то есть угол между $OA$ и $AC$, проекцией $OA$ на плоскость) равен $\alpha = 60^\circ$.

Расстояние $h = OC$ от центра шара до плоскости сечения:

$h = R \sin(\alpha)$

$h = 8 \text{ см} \cdot \sin(60^\circ)$

$h = 8 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = 4\sqrt{3}$ см.

Радиус сечения $r$ связан с радиусом шара $R$ и расстоянием $h$ по теореме Пифагора:

$r^2 = R^2 - h^2$

$r^2 = (8 \text{ см})^2 - (4\sqrt{3} \text{ см})^2$

$r^2 = 64 \text{ см}^2 - (16 \cdot 3) \text{ см}^2$

$r^2 = 64 \text{ см}^2 - 48 \text{ см}^2$

$r^2 = 16 \text{ см}^2$

$r = \sqrt{16} \text{ см} = 4$ см.

Также радиус сечения $r$ можно найти непосредственно как $r = R \cos(\alpha)$:

$r = 8 \text{ см} \cdot \cos(60^\circ) = 8 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Площадь сечения $S_{сечения}$ вычисляется по формуле площади круга:

$S_{сечения} = \pi r^2$

$S_{сечения} = \pi (4 \text{ см})^2$

$S_{сечения} = 16\pi \text{ см}^2$

Ответ: $16\pi \text{ см}^2$