Номер 382, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

382. Какую высоту будет иметь ведро, если в заготовке для получения его боковой поверхности величины дуг равны по $72^\circ$, а их радиусы – $92$ см и $65$ см? Достаточно ли листа жести размером $105 \times 30$ см для его изготовления?

Дано:

Радиус большей дуги заготовки: $R = 92 \text{ см}$

Радиус меньшей дуги заготовки: $r = 65 \text{ см}$

Угол дуг заготовки: $\alpha = 72^\circ$

Размеры листа жести: $L_{\text{sheet}} = 105 \text{ см}$, $W_{\text{sheet}} = 30 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 92 \text{ см} = 0.92 \text{ м}$

$r = 65 \text{ см} = 0.65 \text{ м}$

$L_{\text{sheet}} = 105 \text{ см} = 1.05 \text{ м}$

$W_{\text{sheet}} = 30 \text{ см} = 0.30 \text{ м}$

$\alpha = 72^\circ = 72 \times \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{2\pi}{5} \text{ рад}$

Найти:

1. Высоту ведра $h$.

2. Достаточно ли листа жести для его изготовления.

Решение:

1. Какую высоту будет иметь ведро?

Боковая поверхность ведра представляет собой сектор кольца, вырезанный из листа жести. Радиусы этого сектора ($R$ и $r$) соответствуют образующим конусов, из которых образуется усеченный конус (ведро). Длина образующей усеченного конуса (ведра) $l$ равна разности радиусов дуг заготовки: $l = R - r$ $l = 92 \text{ см} - 65 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Длина большей дуги заготовки станет длиной окружности нижнего основания ведра ($C_1$), а длина меньшей дуги — длиной окружности верхнего основания ведра ($C_2$). Формула длины дуги сектора с радиусом $S$ и углом $\alpha$ (в градусах): $L = 2\pi S \frac{\alpha}{360^\circ}$.

Радиус нижнего основания ведра $R_1$: $2\pi R_1 = 2\pi R \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_1 = R \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_1 = 92 \text{ см} \times \frac{72^\circ}{360^\circ} = 92 \text{ см} \times \frac{1}{5} = 18.4 \text{ см}$

Радиус верхнего основания ведра $R_2$: $2\pi R_2 = 2\pi r \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_2 = r \frac{\alpha}{360^\circ}$ $R_2 = 65 \text{ см} \times \frac{72^\circ}{360^\circ} = 65 \text{ см} \times \frac{1}{5} = 13 \text{ см}$

Высота усеченного конуса (ведра) $h$ может быть найдена по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, разностью радиусов оснований $(R_1 - R_2)$ и образующей $l$: $h^2 + (R_1 - R_2)^2 = l^2$ $h = \sqrt{l^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Вычислим разность радиусов оснований: $R_1 - R_2 = 18.4 \text{ см} - 13 \text{ см} = 5.4 \text{ см}$

Теперь вычислим высоту $h$: $h = \sqrt{(27 \text{ см})^2 - (5.4 \text{ см})^2}$ $h = \sqrt{729 \text{ см}^2 - 29.16 \text{ см}^2}$ $h = \sqrt{699.84 \text{ см}^2}$ $h \approx 26.45 \text{ см}$

Ответ: $26.45 \text{ см}$

2. Достаточно ли листа жести размером 105 × 30 см для его изготовления?

Для того чтобы определить, достаточно ли листа жести, необходимо сравнить размеры заготовки с размерами листа. Заготовка для боковой поверхности ведра представляет собой сектор кольца.

Максимальный размер заготовки вдоль радиального направления (высота сектора) равен разности радиусов: $R - r = 92 \text{ см} - 65 \text{ см} = 27 \text{ см}$. Этот размер (27 см) меньше, чем 30 см, поэтому он может уместиться по одной из сторон листа.

Однако, необходимо также учесть максимальный размер заготовки в перпендикулярном радиальному направлению. Это расстояние соответствует длине хорды, соединяющей крайние точки большей дуги сектора. Длина хорды $c$ для дуги радиуса $S$ и центрального угла $\alpha$ вычисляется по формуле $c = 2S \sin(\alpha/2)$. Для большей дуги ($S=R=92 \text{ см}$) и угла $\alpha = 72^\circ$: $c = 2 \times 92 \text{ см} \times \sin(72^\circ/2)$ $c = 184 \text{ см} \times \sin(36^\circ)$ Используя значение $\sin(36^\circ) \approx 0.587785$: $c \approx 184 \text{ см} \times 0.587785 \approx 108.152 \text{ см}$

Размеры листа жести: $105 \times 30 \text{ см}$. Максимальный размер заготовки (длина хорды) составляет приблизительно $108.15 \text{ см}$. Этот размер должен поместиться в одну из сторон листа ($105 \text{ см}$ или $30 \text{ см}$). Так как $108.15 \text{ см} > 105 \text{ см}$, заготовка не помещается на листе жести, потому что ее максимальный размер превышает наибольший размер листа.

Ответ: Листа жести размером $105 \times 30 \text{ см}$ недостаточно для изготовления ведра.