Номер 386, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

18. Сфера и шар. Сечение шара плоскостью. III. Тела вращения и их элементы - номер 386, страница 123.

Условие.

386. Сечение шара плоскостью удалено на 5 см от его центра. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в это сечение, если радиус шара равен 7 см.

Решение.

Решение 2 (rus).

Дано:

$h = 5 \text{ см}$ (расстояние от центра шара до плоскости сечения)

$R = 7 \text{ см}$ (радиус шара)

Перевод в СИ:

$h = 0.05 \text{ м}$

$R = 0.07 \text{ м}$

Найти:

$S_{\text{шестиугольника}}$ – площадь правильного шестиугольника, вписанного в сечение.

Решение:

сечение шара плоскостью является кругом. радиус этого круга ($r$), расстояние от центра шара до плоскости сечения ($h$) и радиус шара ($R$) образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара является гипотенузой. по теореме пифагора:

$R^2 = h^2 + r^2$

отсюда выразим радиус сечения $r$:

$r^2 = R^2 - h^2$

подставим численные значения:

$r^2 = (7 \text{ см})^2 - (5 \text{ см})^2$

$r^2 = 49 \text{ см}^2 - 25 \text{ см}^2$

$r^2 = 24 \text{ см}^2$

$r = \sqrt{24} \text{ см} = \sqrt{4 \cdot 6} \text{ см} = 2\sqrt{6} \text{ см}$

для правильного шестиугольника, вписанного в круг, длина стороны ($a$) равна радиусу этого круга. следовательно, сторона шестиугольника:

$a = r = 2\sqrt{6} \text{ см}$

площадь правильного шестиугольника ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

подставим значение стороны $a$:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2\sqrt{6} \text{ см})^2$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(4 \cdot 6) \text{ см}^2$

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(24) \text{ см}^2$

$S = 3\sqrt{3} \cdot 12 \text{ см}^2$

$S = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ:

площадь правильного шестиугольника, вписанного в это сечение, равна $36\sqrt{3} \text{ см}^2$.