Номер 392, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

392. Сфера $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 169$ проходит через начало координат. Напишите уравнение касательной плоскости к этой сфере, проходящей через начало координат.

Дано:

Уравнение сферы: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 169$.

Сфера проходит через начало координат, что означает, что точка $P_0(0, 0, 0)$ лежит на сфере и является точкой касания для искомой плоскости.

В данной задаче отсутствуют физические величины, требующие перевода в систему СИ.

Найти:

Уравнение касательной плоскости к сфере, проходящей через начало координат.

Решение:

Общее уравнение сферы имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, где $(a, b, c)$ — координаты центра сферы, а $R$ — ее радиус.

Из данного уравнения сферы $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z - 12)^2 = 169$ получаем:

Координаты центра сферы $C = (3, -4, 12)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 169$, следовательно, радиус $R = \sqrt{169} = 13$.

Точка касания $P_0$ — это начало координат $(0, 0, 0)$. Убедимся, что эта точка действительно лежит на сфере, подставив ее координаты в уравнение сферы:

$(0 - 3)^2 + (0 + 4)^2 + (0 - 12)^2 = (-3)^2 + (4)^2 + (-12)^2 = 9 + 16 + 144 = 25 + 144 = 169$.

Так как $169 = 169$, точка $(0, 0, 0)$ лежит на сфере.

Вектор нормали к касательной плоскости в точке $P_0$ на сфере является вектором, направленным из центра сферы $C$ к точке касания $P_0$.

Обозначим вектор нормали как $\vec{n} = \vec{CP_0}$.

$\vec{n} = (x_{P_0} - x_C, y_{P_0} - y_C, z_{P_0} - z_C)$

$\vec{n} = (0 - 3, 0 - (-4), 0 - 12) = (-3, 4, -12)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(A, B, C)$, имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

В нашем случае точка касания $P_0 = (0, 0, 0)$, а нормальный вектор $\vec{n} = (-3, 4, -12)$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$-3(x - 0) + 4(y - 0) + (-12)(z - 0) = 0$

$-3x + 4y - 12z = 0$.

Это и есть искомое уравнение касательной плоскости.

Ответ:

Уравнение касательной плоскости: $-3x + 4y - 12z = 0$.