Номер 398, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

398. Центр шара, касающегося двух взаимно перпендикулярных плоскостей, удален от общей прямой этих плоскостей на 8 см. Найдите радиус шара.

Дано:

Расстояние от центра шара до общей прямой двух взаимно перпендикулярных плоскостей: $L = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$L = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус шара: $R$

Решение:

Пусть центр шара имеет координаты $C(x_0, y_0, z_0)$.

Пусть две взаимно перпендикулярные плоскости - это координатные плоскости $x=0$ (плоскость $yz$) и $y=0$ (плоскость $xz$). Их общая прямая - это ось $z$.

Шар касается плоскости $x=0$. Это означает, что расстояние от центра шара до этой плоскости равно радиусу шара $R$. Расстояние от $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $x=0$ равно $|x_0|$. Следовательно, $|x_0| = R$.

Шар касается плоскости $y=0$. Это означает, что расстояние от центра шара до этой плоскости равно радиусу шара $R$. Расстояние от $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $y=0$ равно $|y_0|$. Следовательно, $|y_0| = R$.

Таким образом, центр шара имеет координаты $(R, R, z_0)$ (мы можем выбрать четверть, в которой $x_0$ и $y_0$ положительны без потери общности, так как радиус всегда положителен).

Расстояние от центра шара $C(R, R, z_0)$ до общей прямой плоскостей (оси $z$) вычисляется как расстояние от точки до прямой. Для оси $z$ это расстояние равно $\sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

По условию задачи, это расстояние равно $8 \text{ см}$.

То есть, $\sqrt{R^2 + R^2} = 8$.

Упрощаем выражение:

$\sqrt{2R^2} = 8$

$R\sqrt{2} = 8$

Выразим $R$:

$R = \frac{8}{\sqrt{2}}$

Избавляемся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$R = \frac{8\sqrt{2}}{2}$

$R = 4\sqrt{2} \text{ см}$

Ответ:

$4\sqrt{2} \text{ см}$