Номер 400, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

400. Сфера проходит через вершины равнобедренного треугольника с основанием $6\sqrt{2}$ см и углом $45^\circ$ при вершине. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 8 см. Найдите радиус сферы.

Дано:

Основание равнобедренного треугольника $a = 6\sqrt{2}$ см.

Угол при вершине равнобедренного треугольника $\alpha = 45^\circ$.

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника $h = 8$ см.

Перевод в СИ:

$a = 6\sqrt{2} \text{ см} = 0.06\sqrt{2} \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4} \text{ рад}$

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы $R$ - ?

Решение:

Поскольку сфера проходит через все вершины равнобедренного треугольника, эти вершины лежат на некоторой окружности, которая является сечением сферы. Центр этой окружности лежит в плоскости треугольника и является проекцией центра сферы на эту плоскость. Радиус этой окружности ($r$) — это радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника.

Для нахождения радиуса описанной окружности $r$ вокруг треугольника используется формула, следующая из теоремы синусов: $r = \frac{x}{2\sin X}$, где $x$ — длина стороны треугольника, а $X$ — величина угла, противолежащего этой стороне.

В нашем равнобедренном треугольнике основание $a = 6\sqrt{2}$ см, а противолежащий ему угол при вершине $\alpha = 45^\circ$. Подставляем эти значения в формулу:

$r = \frac{a}{2\sin\alpha}$

$r = \frac{6\sqrt{2}}{2\sin 45^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение:

$r = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$r = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$r = 6 \text{ см}$

Итак, радиус описанной окружности треугольника $r = 6$ см.

Теперь рассмотрим отношение между радиусом сферы ($R$), расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника ($h$) и радиусом описанной окружности треугольника ($r$). Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где радиус сферы $R$ является гипотенузой, а $h$ и $r$ — катетами. По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = r^2 + h^2$

Подставим найденное значение $r = 6$ см и данное значение $h = 8$ см:

$R^2 = 6^2 + 8^2$

$R^2 = 36 + 64$

$R^2 = 100$

$R = \sqrt{100}$

$R = 10 \text{ см}$

Ответ:

Радиус сферы равен $10$ см.