Номер 402, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

402. a) Центр шара радиуса $R$ лежит внутри прямого двугранного угла. Шар касается одной из граней этого угла, а диаметр сечения шара плоскостью второй грани $R$. Найдите расстояние от центра шара до ребра двугранного угла.

б) Найдите радиус сферы, касающейся граней двугранного угла, равного $120^\circ$, если ее центр удален от ребра этого двугранного угла на $b$ см.

a)

Дано:
Радиус шара: $R_ш$.
Двугранный угол: $90^\circ$.
Шар касается одной из граней двугранного угла.
Диаметр сечения шара плоскостью второй грани: $D_с = R_ш$.

Перевод в СИ:
Все величины даны в относительных единицах радиуса шара $R_ш$, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Расстояние $D$ от центра шара до ребра двугранного угла.

Решение:
Пусть $O$ - центр шара, а $R_ш$ - его радиус.
Пусть грани двугранного угла - $\alpha$ и $\beta$, а ребро - $L$.
По условию, шар касается одной из граней, например, грани $\alpha$. Это означает, что расстояние от центра шара $O$ до грани $\alpha$ равно радиусу шара: $d_\alpha = R_ш$.
Плоскость второй грани $\beta$ пересекает шар, образуя сечение. Диаметр этого сечения равен $R_ш$. Следовательно, радиус сечения $r_с = D_с / 2 = R_ш / 2$.
Расстояние $d_\beta$ от центра шара $O$ до плоскости сечения (грани $\beta$) связано с радиусом шара $R_ш$ и радиусом сечения $r_с$ теоремой Пифагора: $R_ш^2 = d_\beta^2 + r_с^2$.
Подставляем известные значения:
$R_ш^2 = d_\beta^2 + (R_ш/2)^2$
$R_ш^2 = d_\beta^2 + R_ш^2/4$
Выражаем $d_\beta^2$:
$d_\beta^2 = R_ш^2 - R_ш^2/4 = 4R_ш^2/4 - R_ш^2/4 = 3R_ш^2/4$
Находим $d_\beta$:
$d_\beta = \sqrt{3R_ш^2/4} = R_ш\sqrt{3}/2$.
Рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через центр шара $O$ и перпендикулярной ребру $L$. В этом сечении ребро $L$ представляет собой точку $P$ (вершину прямого угла), а грани $\alpha$ и $\beta$ - перпендикулярные прямые $L_\alpha$ и $L_\beta$, проходящие через $P$.
Расстояние от $O$ до $L_\alpha$ равно $d_\alpha = R_ш$.
Расстояние от $O$ до $L_\beta$ равно $d_\beta = R_ш\sqrt{3}/2$.
Искомое расстояние $D$ от центра шара $O$ до ребра $L$ (точки $P$) является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого служат $d_\alpha$ и $d_\beta$.
По теореме Пифагора:
$D^2 = d_\alpha^2 + d_\beta^2$
$D^2 = R_ш^2 + (R_ш\sqrt{3}/2)^2$
$D^2 = R_ш^2 + 3R_ш^2/4$
$D^2 = 4R_ш^2/4 + 3R_ш^2/4 = 7R_ш^2/4$
$D = \sqrt{7R_ш^2/4} = R_ш\sqrt{7}/2$.

Ответ: $R_ш\sqrt{7}/2$.

б)

Дано:
Величина двугранного угла: $\phi = 120^\circ$.
Расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла: $b$ см.
Сфера касается граней двугранного угла.

Перевод в СИ:
Величина $b$ дана в сантиметрах, и если радиус также будет выражен в сантиметрах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Радиус сферы $R_c$.

Решение:
Пусть $R_c$ - искомый радиус сферы.
Пусть $O$ - центр сферы. Поскольку сфера касается обеих граней двугранного угла, расстояние от ее центра $O$ до каждой грани равно радиусу сферы $R_c$.
Рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через центр сферы $O$ и перпендикулярной ребру. В этом сечении ребро двугранного угла представлено точкой $P$ (вершиной угла), а грани - прямыми, образующими угол $120^\circ$.
Центр сферы $O$ находится в этой плоскости. Расстояние от $O$ до каждой из прямых (граней) равно $R_c$. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $120^\circ$.
Угол между биссектрисой и каждой гранью равен половине двугранного угла: $\phi/2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Пусть $M$ - основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на одну из граней (прямую в сечении). Тогда $OM = R_c$.
Расстояние от центра сферы $O$ до ребра (точки $P$) дано как $b$. То есть $OP = b$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMP$, где $\angle OMP = 90^\circ$. Гипотенуза этого треугольника - $OP = b$, а катет - $OM = R_c$. Угол $\angle OPM$ (угол между гипотенузой $OP$ и катетом $PM$, который лежит на грани) равен $60^\circ$.
Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle OPM) = OM / OP$
$\sin(60^\circ) = R_c / b$
Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$.
Таким образом, выражаем $R_c$:
$R_c = b \sin(60^\circ) = b \sqrt{3}/2$.

Ответ: $b\sqrt{3}/2$ см.