Номер 390, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

390. Сфера задана уравнением $(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 9$. Установите, каково взаимное расположение этой сферы и плоскости:

а) $2x - 3y + 4z - 10 = 0$;

б) $2x + y - 2z - 6 = 0$;

в) $6x - 3y + 6z + 5 = 0$.

a)

Дано

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

Уравнение плоскости: $2x - 3y + 4z - 10 = 0$

Найти:

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Решение

Из уравнения сферы $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$ определяем координаты центра сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ и ее радиус $R$.

Центр сферы: $C(2, -1, 3)$.

Радиус сферы: $R^2 = 9 \implies R = 3$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Для данной плоскости $2x - 3y + 4z - 10 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 2, B = -3, C = 4, D = -10$.

Расстояние $d$ от центра сферы $C(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения:

$d = \frac{|2(2) + (-3)(-1) + 4(3) + (-10)|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}$

$d = \frac{|4 + 3 + 12 - 10|}{\sqrt{4 + 9 + 16}}$

$d = \frac{|9|}{\sqrt{29}}$

$d = \frac{9}{\sqrt{29}}$

Приближенное значение $d \approx \frac{9}{5.385} \approx 1.671$.

Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R = 3$.

Так как $d \approx 1.671$ и $R = 3$, то $d < R$.

Это означает, что плоскость пересекает сферу.

Ответ: Плоскость пересекает сферу.

б)

Дано

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

Уравнение плоскости: $2x + y - 2z - 6 = 0$

Найти:

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Решение

Центр сферы: $C(2, -1, 3)$.

Радиус сферы: $R = 3$.

Для плоскости $2x + y - 2z - 6 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 2, B = 1, C = -2, D = -6$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы $C(2, -1, 3)$ до плоскости:

$d = \frac{|2(2) + 1(-1) + (-2)(3) + (-6)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|4 - 1 - 6 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$

$d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}}$

$d = \frac{9}{3}$

$d = 3$

Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R = 3$.

Так как $d = R = 3$.

Это означает, что плоскость касается сферы в одной точке (является касательной плоскостью).

Ответ: Плоскость касается сферы.

в)

Дано

Уравнение сферы: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

Уравнение плоскости: $6x - 3y + 6z + 5 = 0$

Найти:

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Решение

Центр сферы: $C(2, -1, 3)$.

Радиус сферы: $R = 3$.

Для плоскости $6x - 3y + 6z + 5 = 0$ коэффициенты равны:

$A = 6, B = -3, C = 6, D = 5$.

Вычислим расстояние $d$ от центра сферы $C(2, -1, 3)$ до плоскости:

$d = \frac{|6(2) + (-3)(-1) + 6(3) + 5|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 6^2}}$

$d = \frac{|12 + 3 + 18 + 5|}{\sqrt{36 + 9 + 36}}$

$d = \frac{|38|}{\sqrt{81}}$

$d = \frac{38}{9}$

Приближенное значение $d \approx 4.222$.

Сравниваем расстояние $d$ с радиусом $R = 3$.

Так как $d \approx 4.222$ и $R = 3$, то $d > R$.

Это означает, что плоскость не пересекает сферу.

Ответ: Плоскость не пересекает сферу.