Номер 378, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

378. Какую высоту будет иметь ведро, если в заготовке для получения его боковой поверхности величины дуг равны по $60^\circ$, а их радиусы – $72 \text{ см}$ и $48 \text{ см}$? Ответ дайте с точностью до $0,1 \text{ см}$.

Дано:

Угол дуг $\alpha = 60^\circ$

Радиусы заготовки $L_1 = 72 \text{ см}$, $L_2 = 48 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$\alpha = 60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

$L_1 = 72 \text{ см} = 0.72 \text{ м}$

$L_2 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$

Найти:

Высота ведра $h$

Решение:

Боковая поверхность ведра представляет собой усеченный конус. Заготовка для его боковой поверхности является частью кольца (сектором кольца). Радиусы дуг заготовки ($L_1$ и $L_2$) являются образующими полного и усеченного конусов, соответственно. Угол дуг ($\alpha$) определяет длины окружностей оснований ведра.

1. Определение радиусов оснований ведра ($r_1, r_2$):

Длина большей дуги заготовки становится длиной окружности большего основания ведра. Длина меньшей дуги заготовки становится длиной окружности меньшего основания ведра. Формула длины дуги: $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$.

Для большего основания (радиус $r_1$):
Длина дуги $C_1 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi L_1 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (72 \text{ см}) = 24\pi \text{ см}$.
Эта длина равна $2\pi r_1$, где $r_1$ — радиус большего основания ведра.
$2\pi r_1 = 24\pi \text{ см} \implies r_1 = 12 \text{ см}$.

Для меньшего основания (радиус $r_2$):
Длина дуги $C_2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi L_2 = \frac{1}{6} \cdot 2\pi (48 \text{ см}) = 16\pi \text{ см}$.
Эта длина равна $2\pi r_2$, где $r_2$ — радиус меньшего основания ведра.
$2\pi r_2 = 16\pi \text{ см} \implies r_2 = 8 \text{ см}$.

2. Определение образующей ведра ($l$):

Образующая ведра является разницей между радиусами дуг заготовки.
$l = L_1 - L_2 = 72 \text{ см} - 48 \text{ см} = 24 \text{ см}$.

3. Определение высоты ведра ($h$):

Высоту ведра можно найти по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой ведра, разностью радиусов оснований и образующей.
$h^2 + (r_1 - r_2)^2 = l^2$.
Отсюда $h = \sqrt{l^2 - (r_1 - r_2)^2}$.
Разность радиусов: $r_1 - r_2 = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Подставляем значения:
$h = \sqrt{(24 \text{ см})^2 - (4 \text{ см})^2}$.
$h = \sqrt{576 \text{ см}^2 - 16 \text{ см}^2}$.
$h = \sqrt{560 \text{ см}^2}$.
$h \approx 23.664319 \text{ см}$.

4. Округление результата:

Требуется округлить ответ до 0.1 см.
$h \approx 23.7 \text{ см}$.

Ответ: $23.7 \text{ см}$.