Номер 374, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

374. a) Найдите с точностью до $1 \text{ см}^2$ площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого относятся как 1 : 2, высота равна 8 см, а его образующая наклонена к плоскости основания под углом $45^\circ$.

б) Сколько квадратных сантиметров материала нужно для изготовления рупора в виде усеченного конуса, образующая которого равна 2 дм, а радиусы оснований 2 см и 4 см? Ответ дайте с точностью до $1 \text{ см}^2$.

a)

Дано:

Усеченный конус.

Отношение радиусов оснований: $r_1 : r_2 = 1 : 2$

Высота: $h = 8$ см

Угол наклона образующей к плоскости основания: $\alpha = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса $S_{бок}$ (с точностью до $1 \text{ см}^2$).

Решение:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L$, где $L$ - образующая, $r_1$ и $r_2$ - радиусы оснований.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $L$ и отрезком, равным разности радиусов оснований $(r_2 - r_1)$. Угол между образующей и плоскостью основания равен $\alpha = 45^\circ$.

Из этого треугольника: $\tan(\alpha) = \frac{h}{r_2 - r_1}$

Подставим известные значения: $\tan(45^\circ) = \frac{8}{r_2 - r_1}$.

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $1 = \frac{8}{r_2 - r_1} \Rightarrow r_2 - r_1 = 8$ см.

Дано, что радиусы относятся как $1:2$, то есть $r_2 = 2r_1$.

Подставим $r_2$ в уравнение: $2r_1 - r_1 = 8 \Rightarrow r_1 = 8$ см.

Тогда $r_2 = 2 \times 8 = 16$ см.

Теперь найдем образующую $L$ из того же прямоугольного треугольника:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{L}$

$\sin(45^\circ) = \frac{8}{L}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8}{L}$.

$L = \frac{8 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L = \pi (8 + 16) (8\sqrt{2}) = \pi (24) (8\sqrt{2}) = 192\sqrt{2}\pi$ см$^2$.

Приближенное значение:

$S_{бок} \approx 192 \times 1.41421356 \times 3.14159265 \approx 854.893$ см$^2$.

Округляем до $1 \text{ см}^2$: $S_{бок} \approx 855$ см$^2$.

Ответ: $855 \text{ см}^2$

б)

Дано:

Рупор в виде усеченного конуса.

Образующая: $L = 2$ дм

Радиусы оснований: $r_1 = 2$ см, $r_2 = 4$ см

Перевод в СИ:

$L = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

$r_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$r_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь материала для изготовления рупора $S_{бок}$ (с точностью до $1 \text{ см}^2$).

Решение:

Материал для изготовления рупора представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Формула для площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) L$.

Переведем образующую в сантиметры для удобства вычислений:

$L = 2 \text{ дм} = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Подставим значения радиусов и образующей в формулу:

$S_{бок} = \pi (2 \text{ см} + 4 \text{ см}) (20 \text{ см})$

$S_{бок} = \pi (6) (20) = 120\pi$ см$^2$.

Приближенное значение:

$S_{бок} \approx 120 \times 3.14159265 \approx 376.991$ см$^2$.

Округляем до $1 \text{ см}^2$: $S_{бок} \approx 377$ см$^2$.

Ответ: $377 \text{ см}^2$