Номер 369, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Солтан, Солтан

369. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна $S$. Найдите площадь сечения конуса, которое содержит хорды его оснований, стягивающие дуги, равные $2\alpha$, если известно, что угол между плоскостями сечения и основания равен $\varphi$.

Дано:

Площадь осевого сечения усеченного конуса: $S$

Угол, стягиваемый хордами оснований: $2\alpha$

Угол между плоскостями сечения и основания: $\varphi$

Найти:

Площадь сечения конуса: $S_{сеч}$

Решение

Обозначим радиусы большего и меньшего оснований усеченного конуса как $R$ и $r$ соответственно, а его высоту как $H$.

Площадь осевого сечения усеченного конуса, которое является равнобедренной трапецией с основаниями $2R$ и $2r$ и высотой $H$, выражается формулой:

$S = \frac{1}{2}(2R + 2r)H = (R+r)H$

Искомое сечение также является равнобедренной трапецией. Ее параллельные стороны — это хорды, стягивающие дуги $2\alpha$ в основаниях.

Длина хорды, стягивающей дугу $2\alpha$ в окружности радиуса $R$, равна $c_R = 2R \sin\alpha$.

Длина хорды, стягивающей дугу $2\alpha$ в окружности радиуса $r$, равна $c_r = 2r \sin\alpha$.

Высота этой трапеции ($h_{сеч}$) — это расстояние между серединами этих хорд. Чтобы найти $h_{сеч}$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$ и горизонтальным расстоянием между проекциями середин хорд на одно основание.

Расстояние от центра основания радиуса $R$ до его хорды равно $d_R = R \cos\alpha$.

Расстояние от центра основания радиуса $r$ до его хорды равно $d_r = r \cos\alpha$.

Горизонтальное расстояние между серединами хорд в плоскости, перпендикулярной хордам и проходящей через ось конуса, составляет $(R-r)\cos\alpha$.

Тогда, по теореме Пифагора, высота сечения $h_{сеч}$ равна:

$h_{сеч} = \sqrt{H^2 + ((R-r)\cos\alpha)^2}$

Угол $\varphi$ между плоскостью сечения и плоскостью основания определяется как угол между высотой сечения $h_{сеч}$ и ее проекцией на горизонтальную плоскость. В рассматриваемом прямоугольном треугольнике этот угол лежит напротив катета $H$. Следовательно:

$\sin\varphi = \frac{H}{h_{сеч}}$

Отсюда выразим $h_{сеч}$:

$h_{сеч} = \frac{H}{\sin\varphi}$

Теперь вычислим площадь сечения $S_{сеч}$ как площадь трапеции:

$S_{сеч} = \frac{1}{2}(c_R + c_r)h_{сеч}$

Подставим выражения для $c_R$, $c_r$ и $h_{сеч}$:

$S_{сеч} = \frac{1}{2}(2R \sin\alpha + 2r \sin\alpha) \frac{H}{\sin\varphi}$

$S_{сеч} = (R \sin\alpha + r \sin\alpha) \frac{H}{\sin\varphi}$

$S_{сеч} = (R+r)\sin\alpha \frac{H}{\sin\varphi}$

Мы знаем, что $S = (R+r)H$. Подставим $S$ в выражение для $S_{сеч}$:

$S_{сеч} = S \frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}$

Ответ: $S \frac{\sin\alpha}{\sin\varphi}$